Номер 555, страница 165 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Упражнения к главе 5 - номер 555, страница 165.

Условие.

555 Доказать тождество:

1) $\frac{2 \sin 2\alpha - \sin 4\alpha}{2 \sin 2\alpha + \sin 4\alpha} = \operatorname{tg}^2 \alpha;$

2) $\frac{2 \cos 2\alpha - \sin 4\alpha}{2 \cos 2\alpha + \sin 4\alpha} = \operatorname{tg}^2 \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Докажем тождество $\frac{2 \sin 2\alpha - \sin 4\alpha}{2 \sin 2\alpha + \sin 4\alpha} = \text{tg}^2 \alpha$.

Для доказательства преобразуем левую часть выражения. Используем формулу синуса двойного угла: $\sin 4\alpha = \sin(2 \cdot 2\alpha) = 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha$.

$\frac{2 \sin 2\alpha - \sin 4\alpha}{2 \sin 2\alpha + \sin 4\alpha} = \frac{2 \sin 2\alpha - 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha}{2 \sin 2\alpha + 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha}$

Вынесем общий множитель $2 \sin 2\alpha$ за скобки в числителе и знаменателе:

$\frac{2 \sin 2\alpha (1 - \cos 2\alpha)}{2 \sin 2\alpha (1 + \cos 2\alpha)}$

Сократим дробь на общий множитель $2 \sin 2\alpha$ (при условии, что $\sin 2\alpha \neq 0$, чтобы выражение имело смысл):

$\frac{1 - \cos 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha}$

Теперь воспользуемся формулами понижения степени (или формулами половинного угла):

$1 - \cos 2\alpha = 2 \sin^2 \alpha$

$1 + \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha$

Подставим эти выражения в нашу дробь:

$\frac{2 \sin^2 \alpha}{2 \cos^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$

Согласно определению тангенса, $\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, следовательно, $\text{tg}^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$.

Таким образом, мы получили, что левая часть тождества равна правой:

$\text{tg}^2 \alpha = \text{tg}^2 \alpha$

Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $\frac{2 \cos 2\alpha - \sin 4\alpha}{2 \cos 2\alpha + \sin 4\alpha} = \text{tg}^2 \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)$.

Преобразуем левую часть равенства. Снова используем формулу синуса двойного угла $\sin 4\alpha = 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha$.

$\frac{2 \cos 2\alpha - \sin 4\alpha}{2 \cos 2\alpha + \sin 4\alpha} = \frac{2 \cos 2\alpha - 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha}{2 \cos 2\alpha + 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha}$

Вынесем общий множитель $2 \cos 2\alpha$ за скобки в числителе и знаменателе:

$\frac{2 \cos 2\alpha (1 - \sin 2\alpha)}{2 \cos 2\alpha (1 + \sin 2\alpha)}$

Сократим дробь на $2 \cos 2\alpha$ (при условии, что $\cos 2\alpha \neq 0$):

$\frac{1 - \sin 2\alpha}{1 + \sin 2\alpha}$

Для дальнейшего преобразования используем формулу приведения $\sin x = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$. Применительно к нашему случаю, $\sin 2\alpha = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right)$.

$\frac{1 - \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right)}{1 + \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right)}$

Теперь применим формулы половинного угла $1 - \cos \theta = 2 \sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)$ и $1 + \cos \theta = 2 \cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)$, где в нашем случае $\theta = \frac{\pi}{2} - 2\alpha$.

Следовательно, $\frac{\theta}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right) = \frac{\pi}{4} - \alpha$.

Подставим это в наше выражение:

$\frac{2 \sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)}{2 \cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)} = \frac{\sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)}{\cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)}$

По определению тангенса, полученное выражение равно $\text{tg}^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)$.

Мы показали, что левая часть тождества равна правой.

$\text{tg}^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \text{tg}^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)$

Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.