Номер 553, страница 165 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Упражнения к главе 5 - номер 553, страница 165.

Условие.

Вычислить (553—554).

553 1) $2 \sin 6\alpha \cos^2 \left(\frac{\pi}{4} + 3\alpha\right) - \sin 6\alpha$ при $\alpha = \frac{5\pi}{24}$;

2) $\cos 3\alpha + 2 \cos (\pi - 3\alpha) \sin^2 \left(\frac{\pi}{4} - 1.5\alpha\right)$ при $\alpha = \frac{5\pi}{36}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Вычислим значение выражения $2 \sin 6\alpha \cos^2(\frac{\pi}{4} + 3\alpha) - \sin 6\alpha$ при $\alpha = \frac{5\pi}{24}$.

Сначала упростим данное выражение. Вынесем общий множитель $\sin 6\alpha$ за скобки:

$2 \sin 6\alpha \cos^2(\frac{\pi}{4} + 3\alpha) - \sin 6\alpha = \sin 6\alpha (2 \cos^2(\frac{\pi}{4} + 3\alpha) - 1)$.

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла $2\cos^2 x - 1 = \cos 2x$. В нашем случае $x = \frac{\pi}{4} + 3\alpha$.

Тогда $2 \cos^2(\frac{\pi}{4} + 3\alpha) - 1 = \cos(2(\frac{\pi}{4} + 3\alpha)) = \cos(\frac{\pi}{2} + 6\alpha)$.

Выражение принимает вид: $\sin 6\alpha \cos(\frac{\pi}{2} + 6\alpha)$.

Применим формулу приведения $\cos(\frac{\pi}{2} + y) = -\sin y$, где $y = 6\alpha$.

$\sin 6\alpha \cos(\frac{\pi}{2} + 6\alpha) = \sin 6\alpha (-\sin 6\alpha) = -\sin^2 6\alpha$.

Теперь подставим значение $\alpha = \frac{5\pi}{24}$ в упрощенное выражение.

Найдем $6\alpha$: $6\alpha = 6 \cdot \frac{5\pi}{24} = \frac{5\pi}{4}$.

Вычислим значение выражения: $-\sin^2(\frac{5\pi}{4})$.

$\sin(\frac{5\pi}{4}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$-\sin^2(\frac{5\pi}{4}) = -(-\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = -(\frac{2}{4}) = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

2) Вычислим значение выражения $\cos 3\alpha + 2 \cos(\pi - 3\alpha) \sin^2(\frac{\pi}{4} - 1.5\alpha)$ при $\alpha = \frac{5\pi}{36}$.

Сначала упростим выражение. Используем формулу приведения $\cos(\pi - x) = -\cos x$.

$\cos(\pi - 3\alpha) = -\cos 3\alpha$.

Выражение преобразуется к виду:

$\cos 3\alpha + 2(-\cos 3\alpha) \sin^2(\frac{\pi}{4} - 1.5\alpha) = \cos 3\alpha - 2\cos 3\alpha \sin^2(\frac{\pi}{4} - 1.5\alpha)$.

Вынесем общий множитель $\cos 3\alpha$ за скобки:

$\cos 3\alpha (1 - 2\sin^2(\frac{\pi}{4} - 1.5\alpha))$.

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла $1 - 2\sin^2 x = \cos 2x$. В данном случае $x = \frac{\pi}{4} - 1.5\alpha$.

$1 - 2\sin^2(\frac{\pi}{4} - 1.5\alpha) = \cos(2(\frac{\pi}{4} - 1.5\alpha)) = \cos(\frac{\pi}{2} - 3\alpha)$.

Выражение принимает вид: $\cos 3\alpha \cos(\frac{\pi}{2} - 3\alpha)$.

Применим формулу приведения $\cos(\frac{\pi}{2} - y) = \sin y$, где $y = 3\alpha$.

$\cos 3\alpha \cos(\frac{\pi}{2} - 3\alpha) = \cos 3\alpha \sin 3\alpha$.

Используя формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$, получим:

$\sin 3\alpha \cos 3\alpha = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 3\alpha) = \frac{1}{2} \sin 6\alpha$.

Теперь подставим значение $\alpha = \frac{5\pi}{36}$ в упрощенное выражение.

Найдем $6\alpha$: $6\alpha = 6 \cdot \frac{5\pi}{36} = \frac{5\pi}{6}$.

Вычислим значение выражения: $\frac{1}{2} \sin(\frac{5\pi}{6})$.

$\sin(\frac{5\pi}{6}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

$\frac{1}{2} \sin(\frac{5\pi}{6}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.