Номер 3, страница 166 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Проверь себя к главе 5 - номер 3, страница 166.

Условие.

3 Доказать тождество:

1) $3 \cos 2\alpha + \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha = 2 \cos 2\alpha$;

2) $\frac{\sin 5\alpha - \sin 3\alpha}{2 \cos 4\alpha} = \sin \alpha.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 8.

1) Докажем тождество $3 \cos 2\alpha + \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha = 2 \cos 2\alpha$.

Преобразуем левую часть равенства. Для этого сгруппируем второе и третье слагаемые и вынесем за скобки $-1$:

$3 \cos 2\alpha + (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) = 3 \cos 2\alpha - (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)$.

Используем основную формулу косинуса двойного угла: $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.

Подставим это выражение в левую часть тождества:

$3 \cos 2\alpha - \cos 2\alpha$.

Приводя подобные слагаемые, получаем:

$2 \cos 2\alpha$.

Таким образом, мы показали, что левая часть тождества равна правой части:

$2 \cos 2\alpha = 2 \cos 2\alpha$.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $\frac{\sin 5\alpha - \sin 3\alpha}{2 \cos 4\alpha} = \sin \alpha$.

Преобразуем левую часть равенства. Для числителя дроби применим формулу разности синусов:

$\sin x - \sin y = 2 \sin\frac{x-y}{2} \cos\frac{x+y}{2}$.

В нашем случае $x = 5\alpha$ и $y = 3\alpha$. Подставим эти значения в формулу:

$\sin 5\alpha - \sin 3\alpha = 2 \sin\frac{5\alpha - 3\alpha}{2} \cos\frac{5\alpha + 3\alpha}{2} = 2 \sin\frac{2\alpha}{2} \cos\frac{8\alpha}{2} = 2 \sin \alpha \cos 4\alpha$.

Теперь подставим полученное выражение для числителя обратно в левую часть исходного тождества:

$\frac{2 \sin \alpha \cos 4\alpha}{2 \cos 4\alpha}$.

При условии, что $\cos 4\alpha \neq 0$, мы можем сократить дробь на общий множитель $2 \cos 4\alpha$:

$\sin \alpha$.

В результате преобразований мы получили правую часть исходного равенства:

$\sin \alpha = \sin \alpha$.

Ответ: Тождество доказано.