Номер 556, страница 165 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Упражнения к главе 5 - номер 556, страница 165.

Условие.

556 Показать, что!

$1) \sin 35^\circ + \sin 25^\circ = \cos 5^\circ;$

$2) \cos 12^\circ - \cos 48^\circ = \sin 18^\circ.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для доказательства тождества $\sin 35^\circ + \sin 25^\circ = \cos 5^\circ$ воспользуемся формулой суммы синусов, которая преобразует сумму тригонометрических функций в произведение:

$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

Применим эту формулу к левой части нашего равенства, где $\alpha = 35^\circ$ и $\beta = 25^\circ$:

$\sin 35^\circ + \sin 25^\circ = 2 \sin\frac{35^\circ+25^\circ}{2} \cos\frac{35^\circ-25^\circ}{2}$

Выполним вычисления в аргументах синуса и косинуса:

$2 \sin\frac{60^\circ}{2} \cos\frac{10^\circ}{2} = 2 \sin 30^\circ \cos 5^\circ$

Мы знаем, что табличное значение $\sin 30^\circ$ равно $\frac{1}{2}$. Подставим это значение в выражение:

$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 5^\circ = 1 \cdot \cos 5^\circ = \cos 5^\circ$

В результате преобразования левой части мы получили правую часть равенства. Таким образом, тождество $\sin 35^\circ + \sin 25^\circ = \cos 5^\circ$ доказано.

Ответ: что и требовалось доказать.

2) Для доказательства тождества $\cos 12^\circ - \cos 48^\circ = \sin 18^\circ$ воспользуемся формулой разности косинусов:

$\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}$

Применим эту формулу к левой части равенства, где $\alpha = 12^\circ$ и $\beta = 48^\circ$:

$\cos 12^\circ - \cos 48^\circ = -2 \sin\frac{12^\circ+48^\circ}{2} \sin\frac{12^\circ-48^\circ}{2}$

Выполним вычисления в аргументах синусов:

$-2 \sin\frac{60^\circ}{2} \sin\frac{-36^\circ}{2} = -2 \sin 30^\circ \sin(-18^\circ)$

Используем свойство нечетности функции синус: $\sin(-x) = -\sin(x)$. Следовательно, $\sin(-18^\circ) = -\sin 18^\circ$.

Подставим это в наше выражение:

$-2 \sin 30^\circ (-\sin 18^\circ) = 2 \sin 30^\circ \sin 18^\circ$

Мы знаем, что табличное значение $\sin 30^\circ$ равно $\frac{1}{2}$. Подставим его:

$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin 18^\circ = 1 \cdot \sin 18^\circ = \sin 18^\circ$

В результате преобразования левой части мы получили правую часть равенства. Таким образом, тождество $\cos 12^\circ - \cos 48^\circ = \sin 18^\circ$ доказано.

Ответ: что и требовалось доказать.