Номер 551, страница 165 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Упражнения к главе 5 - номер 551, страница 165.

Условие.

551 1) $\frac{\sin \left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)-\cos \left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)}{\sin \left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)+\cos \left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)};$

2) $\frac{\sin \left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)+\cos \left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)}{\sin \left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)-\cos \left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Упростим выражение $ \frac{\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) - \cos(\frac{\pi}{4} + \alpha)}{\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) + \cos(\frac{\pi}{4} + \alpha)} $.
Для этого воспользуемся формулами синуса и косинуса суммы:
$ \sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $
$ \cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y $
В нашем случае $ x = \frac{\pi}{4} $ и $ y = \alpha $. Как известно, $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Разложим выражения в числителе и знаменателе:
$ \sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \sin\frac{\pi}{4}\cos\alpha + \cos\frac{\pi}{4}\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha + \sin\alpha) $
$ \cos(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \cos\frac{\pi}{4}\cos\alpha - \sin\frac{\pi}{4}\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha - \sin\alpha) $
Теперь подставим полученные выражения в исходную дробь.
Числитель дроби:
$ \sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) - \cos(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha + \sin\alpha) - \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha - \sin\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha + \sin\alpha - \cos\alpha + \sin\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}(2\sin\alpha) = \sqrt{2}\sin\alpha $
Знаменатель дроби:
$ \sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) + \cos(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha + \sin\alpha) + \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha - \sin\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha + \sin\alpha + \cos\alpha - \sin\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}(2\cos\alpha) = \sqrt{2}\cos\alpha $
Собираем дробь обратно:
$ \frac{\sqrt{2}\sin\alpha}{\sqrt{2}\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha $
Ответ: $ \tan\alpha $

2) Упростим выражение $ \frac{\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha) + \cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)}{\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha) - \cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)} $.
Для этого воспользуемся формулами синуса и косинуса разности:
$ \sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y $
$ \cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y $
В нашем случае $ x = \frac{\pi}{4} $ и $ y = \alpha $. Как известно, $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Разложим выражения в числителе и знаменателе:
$ \sin(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \sin\frac{\pi}{4}\cos\alpha - \cos\frac{\pi}{4}\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha - \sin\alpha) $
$ \cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \cos\frac{\pi}{4}\cos\alpha + \sin\frac{\pi}{4}\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha + \sin\alpha) $
Теперь подставим полученные выражения в исходную дробь.
Числитель дроби:
$ \sin(\frac{\pi}{4} - \alpha) + \cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha - \sin\alpha) + \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha + \sin\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha - \sin\alpha + \cos\alpha + \sin\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}(2\cos\alpha) = \sqrt{2}\cos\alpha $
Знаменатель дроби:
$ \sin(\frac{\pi}{4} - \alpha) - \cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha - \sin\alpha) - \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha + \sin\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha - \sin\alpha - \cos\alpha - \sin\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}(-2\sin\alpha) = -\sqrt{2}\sin\alpha $
Собираем дробь обратно:
$ \frac{\sqrt{2}\cos\alpha}{-\sqrt{2}\sin\alpha} = -\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = -\cot\alpha $
Ответ: $ -\cot\alpha $