Номер 548, страница 165 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Упражнения к главе 5 - номер 548, страница 165.

Условие.

Вычислить (548–549).

548 1) $ \sin \frac{47\pi}{6} $;

2) $ \text{tg} \frac{25\pi}{4} $;

3) $ \text{ctg} \frac{27\pi}{4} $;

4) $ \cos \frac{21\pi}{4} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Для вычисления $ \sin \frac{47\pi}{6} $ воспользуемся периодичностью функции синус, период которой равен $2\pi$.

Представим угол $ \frac{47\pi}{6} $, выделив целое число полных оборотов ($2\pi$):
$ \frac{47\pi}{6} = \frac{48\pi - \pi}{6} = \frac{48\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = 8\pi - \frac{\pi}{6} = 4 \cdot 2\pi - \frac{\pi}{6} $.

Используя свойство периодичности $ \sin(x + 2\pi k) = \sin(x) $ для целого $k$, получаем:
$ \sin(\frac{47\pi}{6}) = \sin(8\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin(-\frac{\pi}{6}) $.

Так как синус — нечетная функция ($ \sin(-x) = -\sin(x) $), то:
$ \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) $.

Значение $ \sin(\frac{\pi}{6}) $ является табличным и равно $ \frac{1}{2} $.
Следовательно, $ -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2} $.

Ответ: $-\frac{1}{2}$

2)

Для вычисления $ \tg \frac{25\pi}{4} $ воспользуемся периодичностью функции тангенс, период которой равен $\pi$.

Представим угол $ \frac{25\pi}{4} $, выделив целое число полуоборотов ($\pi$):
$ \frac{25\pi}{4} = \frac{24\pi + \pi}{4} = \frac{24\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = 6\pi + \frac{\pi}{4} $.

Используя свойство периодичности $ \tg(x + \pi k) = \tg(x) $ для целого $k$, получаем:
$ \tg(\frac{25\pi}{4}) = \tg(6\pi + \frac{\pi}{4}) = \tg(\frac{\pi}{4}) $.

Значение $ \tg(\frac{\pi}{4}) $ является табличным и равно 1.

Ответ: $1$

3)

Для вычисления $ \ctg \frac{27\pi}{4} $ воспользуемся периодичностью функции котангенс, период которой равен $\pi$.

Представим угол $ \frac{27\pi}{4} $, выделив целое число полуоборотов ($\pi$):
$ \frac{27\pi}{4} = \frac{24\pi + 3\pi}{4} = \frac{24\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = 6\pi + \frac{3\pi}{4} $.

Используя свойство периодичности $ \ctg(x + \pi k) = \ctg(x) $ для целого $k$, получаем:
$ \ctg(\frac{27\pi}{4}) = \ctg(6\pi + \frac{3\pi}{4}) = \ctg(\frac{3\pi}{4}) $.

Для нахождения $ \ctg(\frac{3\pi}{4}) $ воспользуемся формулой приведения. Представим угол в виде $ \pi - \frac{\pi}{4} $:
$ \ctg(\frac{3\pi}{4}) = \ctg(\pi - \frac{\pi}{4}) $.

По формуле приведения $ \ctg(\pi - x) = -\ctg(x) $, следовательно:
$ \ctg(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\ctg(\frac{\pi}{4}) $.

Значение $ \ctg(\frac{\pi}{4}) $ является табличным и равно 1. Таким образом, $ -\ctg(\frac{\pi}{4}) = -1 $.

Ответ: $-1$

4)

Для вычисления $ \cos \frac{21\pi}{4} $ воспользуемся периодичностью функции косинус, период которой равен $2\pi$.

Представим угол $ \frac{21\pi}{4} $, выделив целое число полных оборотов ($2\pi$):
$ \frac{21\pi}{4} = \frac{16\pi + 5\pi}{4} = \frac{16\pi}{4} + \frac{5\pi}{4} = 4\pi + \frac{5\pi}{4} = 2 \cdot 2\pi + \frac{5\pi}{4} $.

Используя свойство периодичности $ \cos(x + 2\pi k) = \cos(x) $ для целого $k$, получаем:
$ \cos(\frac{21\pi}{4}) = \cos(4\pi + \frac{5\pi}{4}) = \cos(\frac{5\pi}{4}) $.

Для нахождения $ \cos(\frac{5\pi}{4}) $ воспользуемся формулой приведения. Представим угол в виде $ \pi + \frac{\pi}{4} $:
$ \cos(\frac{5\pi}{4}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) $.

По формуле приведения $ \cos(\pi + x) = -\cos(x) $, следовательно:
$ \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) $.

Значение $ \cos(\frac{\pi}{4}) $ является табличным и равно $ \frac{\sqrt{2}}{2} $. Таким образом, $ -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$