Номер 550, страница 165 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Упражнения к главе 5 - номер 550, страница 165.

Условие.

Упростить выражение (550—551).

550 1) $(\frac{1 + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha} - \sin \alpha) \frac{1}{2} \operatorname{tg} \alpha;$

2) $\operatorname{ctg} \alpha (\frac{1 + \sin^2 \alpha}{\cos \alpha} - \cos \alpha).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Упростим выражение $\left( \frac{1 + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha} - \sin \alpha \right) \frac{1}{2} \operatorname{tg} \alpha$.

Сначала преобразуем выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю $\sin \alpha$:

$\frac{1 + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha} - \sin \alpha = \frac{1 + \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin \alpha}$

В числителе используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.

$\frac{1 + (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)}{\sin \alpha} = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{\sin \alpha}$

Далее применим формулу понижения степени (или формулу половинного угла) $1 + \cos(2\alpha) = 2\cos^2 \alpha$.

$\frac{2\cos^2 \alpha}{\sin \alpha}$

Теперь подставим упрощенное выражение обратно в исходное и заменим $\operatorname{tg} \alpha$ на отношение синуса к косинусу:

$\left( \frac{2\cos^2 \alpha}{\sin \alpha} \right) \cdot \frac{1}{2} \cdot \operatorname{tg} \alpha = \frac{2\cos^2 \alpha}{\sin \alpha} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе ($2$, $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$):

$\frac{2 \cdot \cos^2 \alpha \cdot \sin \alpha}{2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha} = \cos \alpha$

Ответ: $\cos \alpha$

2) Упростим выражение $\operatorname{ctg} \alpha \left( \frac{1 + \sin^2 \alpha}{\cos \alpha} - \cos \alpha \right)$.

Сначала преобразуем выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю $\cos \alpha$:

$\frac{1 + \sin^2 \alpha}{\cos \alpha} - \cos \alpha = \frac{1 + \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\cos \alpha}$

В числителе вынесем минус за скобки, чтобы получить формулу двойного угла:

$\frac{1 - (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)}{\cos \alpha}$

Применяем формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$:

$\frac{1 - \cos(2\alpha)}{\cos \alpha}$

Далее используем формулу понижения степени (или формулу половинного угла) $1 - \cos(2\alpha) = 2\sin^2 \alpha$:

$\frac{2\sin^2 \alpha}{\cos \alpha}$

Теперь подставим упрощенное выражение в исходное и заменим $\operatorname{ctg} \alpha$ на отношение косинуса к синусу:

$\operatorname{ctg} \alpha \cdot \left( \frac{2\sin^2 \alpha}{\cos \alpha} \right) = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \cdot \frac{2\sin^2 \alpha}{\cos \alpha}$

Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе ($\cos \alpha$ и $\sin \alpha$):

$\frac{\cos \alpha \cdot 2 \sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha} = 2\sin \alpha$

Ответ: $2\sin \alpha$