Номер 592, страница 178 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 34. Уравнение sinx=a - номер 592, страница 178.

Условие.

592 1) $\sin 4x \cos 2x = \cos 4x \sin 2x;$

2) $\cos 2x \sin 3x = \sin 2x \cos 3x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Дано уравнение: $ \sin 4x \cos 2x = \cos 4x \sin 2x $.

Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$ \sin 4x \cos 2x - \cos 4x \sin 2x = 0 $

Это выражение соответствует левой части формулы синуса разности двух углов: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $.

В нашем случае $ \alpha = 4x $ и $ \beta = 2x $. Применив формулу, "свернем" выражение:
$ \sin(4x - 2x) = 0 $

Упростим выражение в скобках:
$ \sin(2x) = 0 $

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Синус равен нулю, когда его аргумент равен $ \pi n $, где $ n $ — любое целое число ($ n \in \mathbb{Z} $).
$ 2x = \pi n $

Чтобы найти $ x $, разделим обе части уравнения на 2:
$ x = \frac{\pi n}{2} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $.

2)

Дано уравнение: $ \cos 2x \sin 3x = \sin 2x \cos 3x $.

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить выражение, равное нулю. Для удобства применения формулы, запишем его в следующем виде:
$ \sin 3x \cos 2x - \cos 3x \sin 2x = 0 $

Это выражение также соответствует формуле синуса разности двух углов: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $.

В этом уравнении $ \alpha = 3x $ и $ \beta = 2x $. Применив формулу, получаем:
$ \sin(3x - 2x) = 0 $

Упростим выражение в скобках:
$ \sin(x) = 0 $

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является:
$ x = \pi k $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $).

Ответ: $ x = \pi k, k \in \mathbb{Z} $.