Номер 594, страница 178 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 34. Уравнение sinx=a - номер 594, страница 178.

Условие.

Решить уравнение (594–596).

594

1) $1 - 4 \sin x \cos x = 0;$

2) $\sqrt{3} + 4 \sin x \cos x = 0;$

3) $1 + 6 \sin \frac{x}{4} \cos \frac{x}{4} = 0;$

4) $1 - 8 \sin \frac{x}{3} \cos \frac{x}{3} = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $1 - 4 \sin x \cos x = 0$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$.

Преобразуем левую часть уравнения:

$1 - 2 \cdot (2 \sin x \cos x) = 0$

$1 - 2 \sin(2x) = 0$

Теперь выразим $\sin(2x)$:

$2 \sin(2x) = 1$

$\sin(2x) = \frac{1}{2}$

Найдём общее решение для аргумента $2x$:

$2x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k, \quad k \in Z$

$2x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in Z$

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 2:

$x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in Z$

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in Z$.

2) $\sqrt{3} + 4 \sin x \cos x = 0$

Как и в предыдущем примере, используем формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$.

Преобразуем уравнение:

$\sqrt{3} + 2 \cdot (2 \sin x \cos x) = 0$

$\sqrt{3} + 2 \sin(2x) = 0$

Выразим $\sin(2x)$:

$2 \sin(2x) = -\sqrt{3}$

$\sin(2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Найдём общее решение для $2x$:

$2x = (-1)^k \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \pi k, \quad k \in Z$

Так как $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$, то $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3}$.

$2x = (-1)^k \left(-\frac{\pi}{3}\right) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in Z$

Разделим обе части на 2:

$x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in Z$

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in Z$.

3) $1 + 6 \sin\frac{x}{4} \cos\frac{x}{4} = 0$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$, где $\alpha = \frac{x}{4}$.

Преобразуем уравнение:

$1 + 3 \cdot \left(2 \sin\frac{x}{4} \cos\frac{x}{4}\right) = 0$

$1 + 3 \sin\left(2 \cdot \frac{x}{4}\right) = 0$

$1 + 3 \sin\left(\frac{x}{2}\right) = 0$

Выразим $\sin\left(\frac{x}{2}\right)$:

$3 \sin\left(\frac{x}{2}\right) = -1$

$\sin\left(\frac{x}{2}\right) = -\frac{1}{3}$

Найдём общее решение для $\frac{x}{2}$:

$\frac{x}{2} = (-1)^k \arcsin\left(-\frac{1}{3}\right) + \pi k, \quad k \in Z$

$\frac{x}{2} = (-1)^{k+1} \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + \pi k, \quad k \in Z$

Чтобы найти $x$, умножим обе части на 2:

$x = (-1)^{k+1} 2 \arcsin\frac{1}{3} + 2\pi k, \quad k \in Z$

Ответ: $x = (-1)^{k+1} 2 \arcsin\frac{1}{3} + 2\pi k, \quad k \in Z$.

4) $1 - 8 \sin\frac{x}{3} \cos\frac{x}{3} = 0$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$, где $\alpha = \frac{x}{3}$.

Преобразуем уравнение:

$1 - 4 \cdot \left(2 \sin\frac{x}{3} \cos\frac{x}{3}\right) = 0$

$1 - 4 \sin\left(2 \cdot \frac{x}{3}\right) = 0$

$1 - 4 \sin\left(\frac{2x}{3}\right) = 0$

Выразим $\sin\left(\frac{2x}{3}\right)$:

$4 \sin\left(\frac{2x}{3}\right) = 1$

$\sin\left(\frac{2x}{3}\right) = \frac{1}{4}$

Найдём общее решение для $\frac{2x}{3}$:

$\frac{2x}{3} = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + \pi k, \quad k \in Z$

Чтобы найти $x$, умножим обе части на $\frac{3}{2}$:

$x = \frac{3}{2} \left((-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + \pi k\right)$

$x = (-1)^k \frac{3}{2} \arcsin\frac{1}{4} + \frac{3\pi k}{2}, \quad k \in Z$

Ответ: $x = (-1)^k \frac{3}{2} \arcsin\frac{1}{4} + \frac{3\pi k}{2}, \quad k \in Z$.