Номер 479, страница 143 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 27. Синус, косинус и тангенс углов α и -α - номер 479, страница 143.

Условие.

479 Доказать тождество:

1) $\cos \alpha \sin (6\pi - \alpha) \cdot (1 + \operatorname{ctg}^2 (-\alpha)) = \operatorname{ctg} (-\alpha);$

2) $\frac{1 - \sin^2 (-\alpha)}{\cos (4\pi - \alpha)} \cdot \frac{\sin (\alpha - 2\pi)}{1 - \cos^2 (-\alpha)} = \operatorname{ctg} \alpha.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Докажем тождество, преобразовав его левую часть: $cos \alpha \cdot sin(6\pi - \alpha) \cdot (1 + ctg^2(-\alpha))$.

Для этого используем формулы приведения, свойства четности/нечетности функций и основные тригонометрические тождества.

Упростим отдельные множители:
- В силу периодичности функции синус ($T=2\pi$), имеем $sin(6\pi - \alpha) = sin(3 \cdot 2\pi - \alpha) = sin(-\alpha)$. Так как синус – нечетная функция, $sin(-\alpha) = -sin \alpha$.
- Котангенс является нечетной функцией, поэтому $ctg(-\alpha) = -ctg \alpha$, а $ctg^2(-\alpha) = (-ctg \alpha)^2 = ctg^2 \alpha$. Тогда, согласно основному тригонометрическому тождеству, $1 + ctg^2(-\alpha) = 1 + ctg^2 \alpha = \frac{1}{sin^2 \alpha}$.

Теперь подставим упрощенные выражения в левую часть тождества:

$cos \alpha \cdot (-sin \alpha) \cdot \frac{1}{sin^2 \alpha} = -\frac{cos \alpha \cdot sin \alpha}{sin^2 \alpha}$

Сократив $sin \alpha$ в числителе и знаменателе, получим:

$-\frac{cos \alpha}{sin \alpha} = -ctg \alpha$

Преобразуем правую часть тождества: $ctg(-\alpha)$. Используя свойство нечетности котангенса, получаем $ctg(-\alpha) = -ctg \alpha$.

Поскольку левая и правая части тождества равны $-ctg \alpha$, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество, преобразовав его левую часть: $\frac{1 - sin^2(-\alpha)}{cos(4\pi - \alpha)} \cdot \frac{sin(\alpha - 2\pi)}{1 - cos^2(-\alpha)}$.

Упростим каждую часть выражения, используя периодичность, свойства четности/нечетности и основные тригонометрические тождества:

- Числитель первой дроби: $1 - sin^2(-\alpha) = 1 - (-sin \alpha)^2 = 1 - sin^2 \alpha = cos^2 \alpha$.
- Знаменатель первой дроби: $cos(4\pi - \alpha) = cos(2 \cdot 2\pi - \alpha) = cos(-\alpha) = cos \alpha$.
- Числитель второй дроби: $sin(\alpha - 2\pi) = sin(\alpha)$.
- Знаменатель второй дроби: $1 - cos^2(-\alpha) = 1 - (cos \alpha)^2 = 1 - cos^2 \alpha = sin^2 \alpha$.

Подставим упрощенные выражения в левую часть тождества:

$\frac{cos^2 \alpha}{cos \alpha} \cdot \frac{sin \alpha}{sin^2 \alpha}$

После сокращения дробей получаем:

$cos \alpha \cdot \frac{1}{sin \alpha} = \frac{cos \alpha}{sin \alpha} = ctg \alpha$

Левая часть выражения равна $ctg \alpha$, что совпадает с правой частью тождества. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.