Номер 472, страница 141 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 26. Тригонометрические тождества - номер 472, страница 141.

Условие.

472 Найти значение выражения $\cos^3 \alpha - \sin^3 \alpha$, если $\cos \alpha - \sin \alpha = 0,2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения этой задачи мы будем использовать алгебраические и тригонометрические тождества.

1. Сначала преобразуем искомое выражение $ \cos^3 \alpha - \sin^3 \alpha $ с помощью формулы разности кубов $ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $.
В нашем случае $ a = \cos \alpha $ и $ b = \sin \alpha $.
$ \cos^3 \alpha - \sin^3 \alpha = (\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos^2 \alpha + \cos \alpha \sin \alpha + \sin^2 \alpha) $.

2. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $. Это позволяет нам упростить вторую скобку:
$ \cos^2 \alpha + \cos \alpha \sin \alpha + \sin^2 \alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + \cos \alpha \sin \alpha = 1 + \cos \alpha \sin \alpha $.

3. Теперь наше исходное выражение выглядит так:
$ \cos^3 \alpha - \sin^3 \alpha = (\cos \alpha - \sin \alpha)(1 + \cos \alpha \sin \alpha) $.

4. По условию нам дано, что $ \cos \alpha - \sin \alpha = 0,2 $. Нам осталось найти значение произведения $ \cos \alpha \sin \alpha $. Для этого возведем в квадрат обе части данного равенства:
$ (\cos \alpha - \sin \alpha)^2 = (0,2)^2 $
$ \cos^2 \alpha - 2\cos \alpha \sin \alpha + \sin^2 \alpha = 0,04 $
Снова используем тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $:
$ 1 - 2\cos \alpha \sin \alpha = 0,04 $
Теперь выразим $ \cos \alpha \sin \alpha $:
$ 2\cos \alpha \sin \alpha = 1 - 0,04 $
$ 2\cos \alpha \sin \alpha = 0,96 $
$ \cos \alpha \sin \alpha = \frac{0,96}{2} = 0,48 $.

5. Подставим все известные значения в преобразованное выражение:
$ \cos^3 \alpha - \sin^3 \alpha = (0,2) \cdot (1 + 0,48) = 0,2 \cdot 1,48 = 0,296 $.

Ответ: 0,296