Номер 480, страница 143 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 27. Синус, косинус и тангенс углов α и -α - номер 480, страница 143.

Условие.

480 Решить уравнение:

1) $sin (-x) = 1$;

2) $cos (-2x) = 0$;

3) $cos (-2x) = 1$;

4) $sin (-2x) = 0$;

5) $cos^2 (-x) + sin (-x) = 2 - sin^2 x$;

6) $1 - sin^2 (-x) + cos (4\pi - x) = cos (x - 2\pi)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Исходное уравнение: $sin(-x) = 1$.
Используем свойство нечетности синуса: $sin(-\alpha) = -sin(\alpha)$.
Уравнение принимает вид: $-sin(x) = 1$, что эквивалентно $sin(x) = -1$.
Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Аргумент синуса, при котором его значение равно -1, равен $-\frac{\pi}{2}$ с периодом $2\pi$.
Следовательно, $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение: $cos(-2x) = 0$.
Используем свойство четности косинуса: $cos(-\alpha) = cos(\alpha)$.
Уравнение принимает вид: $cos(2x) = 0$.
Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Аргумент косинуса, при котором его значение равно 0, равен $\frac{\pi}{2}$ с периодом $\pi$.
Следовательно, $2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

3) Исходное уравнение: $cos(-2x) = 1$.
Используем свойство четности косинуса: $cos(-\alpha) = cos(\alpha)$.
Уравнение принимает вид: $cos(2x) = 1$.
Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Аргумент косинуса, при котором его значение равно 1, равен $2\pi k$.
Следовательно, $2x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$: $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

4) Исходное уравнение: $sin(-2x) = 0$.
Используем свойство нечетности синуса: $sin(-\alpha) = -sin(\alpha)$.
Уравнение принимает вид: $-sin(2x) = 0$, что эквивалентно $sin(2x) = 0$.
Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Аргумент синуса, при котором его значение равно 0, равен $\pi k$.
Следовательно, $2x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$: $x = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

5) Исходное уравнение: $cos^2(-x) + sin(-x) = 2 - sin^2 x$.
Упростим левую часть, используя свойства четности косинуса $cos(-\alpha) = cos(\alpha)$ и нечетности синуса $sin(-\alpha) = -sin(\alpha)$.
$cos^2(-x) = (cos(x))^2 = cos^2(x)$.
$sin(-x) = -sin(x)$.
Уравнение принимает вид: $cos^2(x) - sin(x) = 2 - sin^2(x)$.
Используем основное тригонометрическое тождество $cos^2(x) = 1 - sin^2(x)$.
Подставляем в уравнение: $1 - sin^2(x) - sin(x) = 2 - sin^2(x)$.
Слагаемые $-sin^2(x)$ в левой и правой частях взаимно уничтожаются: $1 - sin(x) = 2$.
Переносим 1 в правую часть: $-sin(x) = 2 - 1$, то есть $-sin(x) = 1$.
Отсюда $sin(x) = -1$.
Решение этого уравнения: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

6) Исходное уравнение: $1 - sin^2(-x) + cos(4\pi - x) = cos(x - 2\pi)$.
Упростим каждый член уравнения по отдельности.
1. Так как $sin(-x) = -sin(x)$, то $sin^2(-x) = (-sin(x))^2 = sin^2(x)$. Тогда выражение $1 - sin^2(-x)$ равно $1 - sin^2(x)$, что по основному тригонометрическому тождеству равно $cos^2(x)$.
2. Используем периодичность косинуса (период $2\pi$): $cos(4\pi - x) = cos(-x + 2 \cdot 2\pi) = cos(-x)$. Так как косинус - четная функция, $cos(-x) = cos(x)$.
3. Аналогично по периодичности: $cos(x - 2\pi) = cos(x)$.
Подставляем упрощенные выражения в исходное уравнение: $cos^2(x) + cos(x) = cos(x)$.
Вычитаем $cos(x)$ из обеих частей уравнения: $cos^2(x) = 0$.
Это уравнение эквивалентно $cos(x) = 0$.
Решение этого уравнения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.