Номер 464, страница 138 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 25. Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла - номер 464, страница 138.

Условие.

464 Известно, что $\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{2}$. Найти:

1) $\sin \alpha \cdot \cos \alpha$;

2) $\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Дано: $\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{2}$.

1)

Чтобы найти произведение $\sin \alpha \cdot \cos \alpha$, возведем обе части данного равенства в квадрат:

$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = (\frac{1}{2})^2$

Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$\sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = \frac{1}{4}$

Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:

$(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{4}$

$1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{4}$

Теперь выразим искомое произведение $\sin \alpha \cdot \cos \alpha$:

$2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{4} - 1$

$2 \sin \alpha \cos \alpha = -\frac{3}{4}$

$\sin \alpha \cos \alpha = -\frac{3}{8}$

Ответ: $-\frac{3}{8}$

2)

Для нахождения суммы кубов $\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha$ воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.

$\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha = (\sin \alpha + \cos \alpha)(\sin^2 \alpha - \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha)$

Перегруппируем слагаемые во второй скобке для удобства:

$\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha = (\sin \alpha + \cos \alpha)((\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) - \sin \alpha \cos \alpha)$

Нам известны значения всех выражений в правой части равенства:

• Из условия задачи: $\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{2}$.
• Из основного тригонометрического тождества: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
• Из решения пункта 1: $\sin \alpha \cos \alpha = -\frac{3}{8}$.

Подставим эти значения в формулу:

$\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha = \frac{1}{2} \cdot (1 - (-\frac{3}{8}))$

$\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha = \frac{1}{2} \cdot (1 + \frac{3}{8})$

$\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha = \frac{1}{2} \cdot (\frac{8}{8} + \frac{3}{8})$

$\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha = \frac{1}{2} \cdot \frac{11}{8}$

$\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha = \frac{11}{16}$

Ответ: $\frac{11}{16}$