Номер 459, страница 138 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 25. Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла - номер 459, страница 138.

Условие.

459 По значению одной из тригонометрических функций ($ \sin \alpha $, $ \cos \alpha $, $ \operatorname{tg} \alpha $, $ \operatorname{ctg} \alpha $) найти значения остальных трёх:

1) $ \cos \alpha = \frac{5}{13} $ и $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $;

2) $ \sin \alpha = 0,8 $ и $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $;

3) $ \operatorname{tg} \alpha = \frac{15}{8} $ и $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $;

4) $ \operatorname{ctg} \alpha = -3 $ и $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $;

5) $ \cos \alpha = 0,8 $ и $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $;

6) $ \sin \alpha = -\frac{5}{13} $ и $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $;

7) $ \operatorname{tg} \alpha = -2,4 $ и $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $;

8) $ \operatorname{ctg} \alpha = \frac{7}{24} $ и $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Дано: $\cos \alpha = \frac{5}{13}$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$. Угол $\alpha$ находится в IV четверти, где $\sin \alpha < 0$, $\tan \alpha < 0$, $\cot \alpha < 0$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ для нахождения синуса:

$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169}$.

$\sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13}$. Так как угол находится в IV четверти, выбираем отрицательное значение: $\sin\alpha = -\frac{12}{13}$.

Теперь найдем тангенс и котангенс:

$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{-12/13}{5/13} = -\frac{12}{5}$.

$\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = \frac{1}{-12/5} = -\frac{5}{12}$.

Ответ: $\sin\alpha = -\frac{12}{13}$, $\tan\alpha = -\frac{12}{5}$, $\cot\alpha = -\frac{5}{12}$.

2) Дано: $\sin \alpha = 0.8 = \frac{4}{5}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Угол $\alpha$ находится во II четверти, где $\cos \alpha < 0$, $\tan \alpha < 0$, $\cot \alpha < 0$.

Из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ найдем косинус:

$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (0.8)^2 = 1 - 0.64 = 0.36$.

$\cos\alpha = \pm\sqrt{0.36} = \pm0.6$. Так как угол находится во II четверти, выбираем отрицательное значение: $\cos\alpha = -0.6$.

Найдем тангенс и котангенс:

$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{0.8}{-0.6} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3}$.

$\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = \frac{1}{-4/3} = -\frac{3}{4} = -0.75$.

Ответ: $\cos\alpha = -0.6$, $\tan\alpha = -\frac{4}{3}$, $\cot\alpha = -0.75$.

3) Дано: $\tan \alpha = \frac{15}{8}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. Угол $\alpha$ находится в III четверти, где $\sin \alpha < 0$, $\cos \alpha < 0$, $\cot \alpha > 0$.

Сначала найдем котангенс: $\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = \frac{1}{15/8} = \frac{8}{15}$.

Используем формулу $1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$ для нахождения косинуса:

$\frac{1}{\cos^2\alpha} = 1 + (\frac{15}{8})^2 = 1 + \frac{225}{64} = \frac{64+225}{64} = \frac{289}{64}$.

$\cos^2\alpha = \frac{64}{289}$, следовательно $\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{64}{289}} = \pm\frac{8}{17}$. В III четверти косинус отрицателен, поэтому $\cos\alpha = -\frac{8}{17}$.

Найдем синус из определения тангенса $\sin\alpha = \tan\alpha \cdot \cos\alpha$:

$\sin\alpha = \frac{15}{8} \cdot (-\frac{8}{17}) = -\frac{15}{17}$.

Ответ: $\sin\alpha = -\frac{15}{17}$, $\cos\alpha = -\frac{8}{17}$, $\cot\alpha = \frac{8}{15}$.

4) Дано: $\cot \alpha = -3$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$. Угол $\alpha$ находится в IV четверти, где $\sin \alpha < 0$, $\cos \alpha > 0$, $\tan \alpha < 0$.

Сначала найдем тангенс: $\tan\alpha = \frac{1}{\cot\alpha} = -\frac{1}{3}$.

Используем формулу $1 + \cot^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$ для нахождения синуса:

$\frac{1}{\sin^2\alpha} = 1 + (-3)^2 = 1 + 9 = 10$.

$\sin^2\alpha = \frac{1}{10}$, следовательно $\sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{10}} = \pm\frac{1}{\sqrt{10}} = \pm\frac{\sqrt{10}}{10}$. В IV четверти синус отрицателен, поэтому $\sin\alpha = -\frac{\sqrt{10}}{10}$.

Найдем косинус из определения котангенса $\cos\alpha = \cot\alpha \cdot \sin\alpha$:

$\cos\alpha = -3 \cdot (-\frac{\sqrt{10}}{10}) = \frac{3\sqrt{10}}{10}$.

Ответ: $\sin\alpha = -\frac{\sqrt{10}}{10}$, $\cos\alpha = \frac{3\sqrt{10}}{10}$, $\tan\alpha = -\frac{1}{3}$.

5) Дано: $\cos \alpha = 0.8 = \frac{4}{5}$ и $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Угол $\alpha$ находится в I четверти, где все тригонометрические функции положительны.

Из $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ найдем синус:

$\sin^2\alpha = 1 - (0.8)^2 = 1 - 0.64 = 0.36$.

$\sin\alpha = \pm\sqrt{0.36} = \pm0.6$. В I четверти синус положителен, поэтому $\sin\alpha = 0.6$.

Найдем тангенс и котангенс:

$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{0.6}{0.8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0.75$.

$\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\sin\alpha = 0.6$, $\tan\alpha = 0.75$, $\cot\alpha = \frac{4}{3}$.

6) Дано: $\sin \alpha = -\frac{5}{13}$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$. Угол $\alpha$ находится в IV четверти, где $\cos \alpha > 0$, $\tan \alpha < 0$, $\cot \alpha < 0$.

Из $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ найдем косинус:

$\cos^2\alpha = 1 - (-\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$.

$\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13}$. В IV четверти косинус положителен, поэтому $\cos\alpha = \frac{12}{13}$.

Найдем тангенс и котангенс:

$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{-5/13}{12/13} = -\frac{5}{12}$.

$\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = -\frac{12}{5}$.

Ответ: $\cos\alpha = \frac{12}{13}$, $\tan\alpha = -\frac{5}{12}$, $\cot\alpha = -\frac{12}{5}$.

7) Дано: $\tan \alpha = -2.4 = -\frac{12}{5}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Угол $\alpha$ находится во II четверти, где $\sin \alpha > 0$, $\cos \alpha < 0$, $\cot \alpha < 0$.

Сначала найдем котангенс: $\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = \frac{1}{-12/5} = -\frac{5}{12}$.

Используем формулу $1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$ для нахождения косинуса:

$\frac{1}{\cos^2\alpha} = 1 + (-\frac{12}{5})^2 = 1 + \frac{144}{25} = \frac{25+144}{25} = \frac{169}{25}$.

$\cos^2\alpha = \frac{25}{169}$, следовательно $\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{25}{169}} = \pm\frac{5}{13}$. Во II четверти косинус отрицателен, поэтому $\cos\alpha = -\frac{5}{13}$.

Найдем синус: $\sin\alpha = \tan\alpha \cdot \cos\alpha = (-\frac{12}{5}) \cdot (-\frac{5}{13}) = \frac{12}{13}$.

Ответ: $\sin\alpha = \frac{12}{13}$, $\cos\alpha = -\frac{5}{13}$, $\cot\alpha = -\frac{5}{12}$.

8) Дано: $\cot \alpha = \frac{7}{24}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. Угол $\alpha$ находится в III четверти, где $\sin \alpha < 0$, $\cos \alpha < 0$, $\tan \alpha > 0$.

Сначала найдем тангенс: $\tan\alpha = \frac{1}{\cot\alpha} = \frac{1}{7/24} = \frac{24}{7}$.

Используем формулу $1 + \cot^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$ для нахождения синуса:

$\frac{1}{\sin^2\alpha} = 1 + (\frac{7}{24})^2 = 1 + \frac{49}{576} = \frac{576+49}{576} = \frac{625}{576}$.

$\sin^2\alpha = \frac{576}{625}$, следовательно $\sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{576}{625}} = \pm\frac{24}{25}$. В III четверти синус отрицателен, поэтому $\sin\alpha = -\frac{24}{25}$.

Найдем косинус: $\cos\alpha = \cot\alpha \cdot \sin\alpha = \frac{7}{24} \cdot (-\frac{24}{25}) = -\frac{7}{25}$.

Ответ: $\sin\alpha = -\frac{24}{25}$, $\cos\alpha = -\frac{7}{25}$, $\tan\alpha = \frac{24}{7}$.