Номер 456, страница 137 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 25. Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла - номер 456, страница 137.

Условие.

456 Может ли синус (косинус) принимать значения:

$0,03$, $\frac{2}{3}$, $\frac{5}{3}$, $\frac{11}{13}$, $-\frac{13}{11}$, $\sqrt{2}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для ответа на этот вопрос необходимо знать область значений тригонометрических функций синуса и косинуса. Для любого угла $\alpha$ значения $\sin(\alpha)$ и $\cos(\alpha)$ всегда находятся в пределах отрезка $[-1, 1]$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $-1 \le \sin(\alpha) \le 1$ и $-1 \le \cos(\alpha) \le 1$. Другими словами, модуль синуса или косинуса не может быть больше единицы: $|\sin(\alpha)| \le 1$ и $|\cos(\alpha)| \le 1$. Проверим каждое из заданных значений на соответствие этому условию.

0,03
Проверяем, выполняется ли неравенство $-1 \le 0,03 \le 1$. Неравенство верно, так как 0,03 — положительное число, меньшее 1.
Ответ: да, может.

$\frac{2}{3}$
Проверяем, выполняется ли неравенство $-1 \le \frac{2}{3} \le 1$. Дробь $\frac{2}{3}$ является правильной (числитель меньше знаменателя), ее значение находится между 0 и 1. Неравенство верно.
Ответ: да, может.

$\frac{5}{3}$
Проверяем, выполняется ли неравенство $-1 \le \frac{5}{3} \le 1$. Дробь $\frac{5}{3}$ является неправильной, так как числитель больше знаменателя. $\frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$, что больше 1. Неравенство не выполняется.
Ответ: нет, не может.

$\frac{11}{13}$
Проверяем, выполняется ли неравенство $-1 \le \frac{11}{13} \le 1$. Дробь $\frac{11}{13}$ является правильной, ее значение меньше 1. Неравенство верно.
Ответ: да, может.

$-\frac{13}{11}$
Проверяем, выполняется ли неравенство $-1 \le -\frac{13}{11} \le 1$. Модуль этого числа $|\-\frac{13}{11}| = \frac{13}{11} = 1\frac{2}{11}$, что больше 1. Следовательно, само число $-\frac{13}{11}$ меньше -1. Неравенство не выполняется.
Ответ: нет, не может.

$\sqrt{2}$
Проверяем, выполняется ли неравенство $-1 \le \sqrt{2} \le 1$. Известно, что $\sqrt{2} \approx 1,414$, что больше 1. Неравенство не выполняется.
Ответ: нет, не может.