Номер 449, страница 134 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 24. Знаки синуса, косинуса и тангенса - номер 449, страница 134.

Условие.

449 Пусть $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Определить знак числа:

1) $\sin \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$;

2) $\cos \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)$;

3) $\cos (\alpha-\pi)$;

4) $\operatorname{tg}\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right)$;

5) $\operatorname{tg}\left(\frac{3}{2} \pi-\alpha\right)$;

6) $\sin (\pi-\alpha)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

По условию задачи, угол $ \alpha $ находится в первой четверти, так как $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $. Это означает, что $ \sin(\alpha) > 0 $, $ \cos(\alpha) > 0 $ и $ \text{tg}(\alpha) > 0 $.

1) $ \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) $

Первый способ: Определим, в какой четверти находится угол $ \frac{\pi}{2} - \alpha $. Из неравенства $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $ следует, что $ -\frac{\pi}{2} < -\alpha < 0 $. Прибавим $ \frac{\pi}{2} $ ко всем частям неравенства: $ \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{2} - \alpha < \frac{\pi}{2} + 0 $, то есть $ 0 < \frac{\pi}{2} - \alpha < \frac{\pi}{2} $. Угол $ \frac{\pi}{2} - \alpha $ находится в первой четверти, а синус в первой четверти положителен.

Второй способ: Используем формулу приведения $ \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos(\alpha) $. Так как $ \alpha $ находится в первой четверти, $ \cos(\alpha) > 0 $. Следовательно, $ \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) > 0 $.

Ответ: знак плюс.

2) $ \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) $

Первый способ: Определим, в какой четверти находится угол $ \frac{\pi}{2} + \alpha $. Из $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $ следует, что $ \frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{2} + \alpha < \pi $. Угол $ \frac{\pi}{2} + \alpha $ находится во второй четверти, а косинус во второй четверти отрицателен.

Второй способ: Используем формулу приведения $ \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin(\alpha) $. Так как $ \alpha $ находится в первой четверти, $ \sin(\alpha) > 0 $. Следовательно, $ -\sin(\alpha) < 0 $, и $ \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) < 0 $.

Ответ: знак минус.

3) $ \cos(\alpha - \pi) $

Первый способ: Определим, в какой четверти находится угол $ \alpha - \pi $. Из $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $ следует, что $ -\pi < \alpha - \pi < -\frac{\pi}{2} $. Угол $ \alpha - \pi $ находится в третьей четверти. Косинус в третьей четверти отрицателен.

Второй способ: Используем свойства тригонометрических функций. Косинус — четная функция, поэтому $ \cos(\alpha - \pi) = \cos(-(\pi - \alpha)) = \cos(\pi - \alpha) $. Далее, по формуле приведения $ \cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha) $. Так как $ \alpha $ находится в первой четверти, $ \cos(\alpha) > 0 $. Следовательно, $ -\cos(\alpha) < 0 $, и $ \cos(\alpha - \pi) < 0 $.

Ответ: знак минус.

4) $ \text{tg}\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) $

Первый способ: Определим, в какой четверти находится угол $ \alpha - \frac{\pi}{2} $. Из $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $ следует, что $ -\frac{\pi}{2} < \alpha - \frac{\pi}{2} < 0 $. Угол $ \alpha - \frac{\pi}{2} $ находится в четвертой четверти. Тангенс в четвертой четверти отрицателен.

Второй способ: Используем свойства тригонометрических функций. Тангенс — нечетная функция, поэтому $ \text{tg}\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = \text{tg}\left(-\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)\right) = -\text{tg}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) $. Далее, по формуле приведения $ \text{tg}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \text{ctg}(\alpha) $. Получаем $ -\text{ctg}(\alpha) $. Так как $ \alpha $ находится в первой четверти, $ \text{ctg}(\alpha) > 0 $. Следовательно, $ -\text{ctg}(\alpha) < 0 $, и $ \text{tg}\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) < 0 $.

Ответ: знак минус.

5) $ \text{tg}\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) $

Первый способ: Определим, в какой четверти находится угол $ \frac{3\pi}{2} - \alpha $. Из $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $ следует, что $ -\frac{\pi}{2} < -\alpha < 0 $. Прибавим $ \frac{3\pi}{2} $: $ \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{2} - \alpha < \frac{3\pi}{2} $, то есть $ \pi < \frac{3\pi}{2} - \alpha < \frac{3\pi}{2} $. Угол $ \frac{3\pi}{2} - \alpha $ находится в третьей четверти. Тангенс в третьей четверти положителен.

Второй способ: Используем формулу приведения $ \text{tg}\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = \text{ctg}(\alpha) $. Так как $ \alpha $ находится в первой четверти, $ \text{ctg}(\alpha) > 0 $. Следовательно, $ \text{tg}\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) > 0 $.

Ответ: знак плюс.

6) $ \sin(\pi - \alpha) $

Первый способ: Определим, в какой четверти находится угол $ \pi - \alpha $. Из $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $ следует, что $ -\frac{\pi}{2} < -\alpha < 0 $. Прибавим $ \pi $: $ \pi - \frac{\pi}{2} < \pi - \alpha < \pi $, то есть $ \frac{\pi}{2} < \pi - \alpha < \pi $. Угол $ \pi - \alpha $ находится во второй четверти. Синус во второй четверти положителен.

Второй способ: Используем формулу приведения $ \sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha) $. Так как $ \alpha $ находится в первой четверти, $ \sin(\alpha) > 0 $. Следовательно, $ \sin(\pi - \alpha) > 0 $.

Ответ: знак плюс.