Номер 450, страница 134 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 24. Знаки синуса, косинуса и тангенса - номер 450, страница 134.

Условие.

450 Каковы знаки чисел $ \sin \alpha $, $ \cos \alpha $, $ \text{tg} \alpha $, $ \text{ctg} \alpha $, если:

1) $3\pi < \alpha < \frac{10\pi}{3};$

2) $\frac{5\pi}{2} < \alpha < \frac{11\pi}{4}?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $3\pi < \alpha < \frac{10\pi}{3}$

Чтобы определить знаки тригонометрических функций, сначала найдем, в какой координатной четверти находится угол $\alpha$. Для этого мы можем вычесть из границ интервала полные обороты ($2\pi$), так как знаки тригонометрических функций периодичны с периодом $2\pi$.

Упростим левую границу интервала: $3\pi - 2\pi = \pi$

Упростим правую границу интервала: $\frac{10\pi}{3} - 2\pi = \frac{10\pi - 6\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$

Таким образом, заданный интервал для угла $\alpha$ эквивалентен интервалу $(\pi, \frac{4\pi}{3})$. Этот интервал целиком расположен в III координатной четверти, которая определяется границами $(\pi, \frac{3\pi}{2})$, так как $\pi < \frac{4\pi}{3} < \frac{3\pi}{2}$.

В III четверти:
- синус отрицателен ($\sin \alpha < 0$), так как ордината (координата y) точки на единичной окружности отрицательна.
- косинус отрицателен ($\cos \alpha < 0$), так как абсцисса (координата x) отрицательна.
- тангенс положителен ($\tan \alpha > 0$), как отношение двух отрицательных чисел ($\frac{-}{-}$).
- котангенс положителен ($\cot \alpha > 0$), по той же причине.

Ответ: $\sin \alpha < 0$, $\cos \alpha < 0$, $\tan \alpha > 0$, $\cot \alpha > 0$.

2) $\frac{5\pi}{2} < \alpha < \frac{11\pi}{4}$

Аналогично первому пункту, определим четверть для угла $\alpha$ путем вычитания $2\pi$ из границ интервала.

Левая граница: $\frac{5\pi}{2} - 2\pi = \frac{5\pi - 4\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$

Правая граница: $\frac{11\pi}{4} - 2\pi = \frac{11\pi - 8\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$

Получаем эквивалентный интервал $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4})$. Этот интервал целиком расположен во II координатной четверти, которая определяется границами $(\frac{\pi}{2}, \pi)$, так как $\frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{4} < \pi$.

Во II четверти:
- синус положителен ($\sin \alpha > 0$), так как ордината положительна.
- косинус отрицателен ($\cos \alpha < 0$), так как абсцисса отрицательна.
- тангенс отрицателен ($\tan \alpha < 0$), как отношение положительного и отрицательного чисел ($\frac{+}{-}$).
- котангенс отрицателен ($\cot \alpha < 0$), как отношение отрицательного и положительного чисел ($\frac{-}{+}$).

Ответ: $\sin \alpha > 0$, $\cos \alpha < 0$, $\tan \alpha < 0$, $\cot \alpha < 0$.