Номер 445, страница 134 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

§ 24. Знаки синуса, косинуса и тангенса. Глава 5. Тригонометрические формулы - номер 445, страница 134.

445 Определить знак числа $\cos \alpha$, если:

1) $\alpha = \frac{2}{3} \pi$;

2) $\alpha = -\frac{7}{6} \pi$;

3) $\alpha = -\frac{2}{5} \pi$;

4) $\alpha = 4,6$;

5) $\alpha = -5,3$;

6) $\alpha = -150^\circ$.

Для определения знака числа $ \cos \alpha $ необходимо определить, в какой координатной четверти на единичной окружности находится угол $ \alpha $. Знак косинуса, который соответствует абсциссе (координате x) точки на единичной окружности, распределяется по четвертям следующим образом:

• I четверть ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ или $0^\circ < \alpha < 90^\circ$): $ \cos \alpha > 0 $ (знак плюс).
• II четверть ($\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ или $90^\circ < \alpha < 180^\circ$): $ \cos \alpha < 0 $ (знак минус).
• III четверть ($\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ или $180^\circ < \alpha < 270^\circ$): $ \cos \alpha < 0 $ (знак минус).
• IV четверть ($\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$ или $270^\circ < \alpha < 360^\circ$): $ \cos \alpha > 0 $ (знак плюс).

1) $ \alpha = \frac{2}{3}\pi $
Чтобы определить знак $ \cos \alpha $, установим, в какой координатной четверти находится угол $ \alpha $. Сравним значение угла $ \frac{2}{3}\pi $ с границами четвертей. Вторая четверть определяется неравенством $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Так как $\frac{1}{2} < \frac{2}{3} < 1$, то неравенство $\frac{\pi}{2} < \frac{2}{3}\pi < \pi$ выполняется. Следовательно, угол $ \alpha $ находится во второй четверти, где косинус отрицателен.
Ответ: минус (-).

2) $ \alpha = \frac{7}{6}\pi $
Сравним угол $ \alpha = \frac{7}{6}\pi $ с границами третьей четверти: $\pi$ и $\frac{3\pi}{2}$. Представим границы и угол с общим знаменателем 6: $\pi = \frac{6\pi}{6}$, $\frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6}$. Так как выполняется неравенство $\frac{6\pi}{6} < \frac{7\pi}{6} < \frac{9\pi}{6}$, то есть $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, угол $ \alpha $ находится в третьей четверти. В этой четверти косинус отрицателен.
Ответ: минус (-).

3) $ \alpha = -\frac{2}{5}\pi $
Угол $ \alpha = -\frac{2}{5}\pi $ является отрицательным. Движение по единичной окружности происходит по часовой стрелке. Четвертая четверть для отрицательных углов определяется неравенством $-\frac{\pi}{2} < \alpha < 0$. Сравним: $-\frac{2}{5}\pi = -0,4\pi$, а $-\frac{\pi}{2} = -0,5\pi$. Так как $-0,5\pi < -0,4\pi < 0$, угол $ \alpha $ находится в четвертой четверти. Косинус в четвертой четверти положителен.
Ответ: плюс (+).

4) $ \alpha = 4,6 $
Угол $ \alpha = 4,6 $ задан в радианах. Используем приближенное значение $\pi \approx 3,1416$. Границы третьей четверти: $\pi \approx 3,1416$ и $\frac{3\pi}{2} \approx \frac{3 \cdot 3,1416}{2} \approx 4,7124$. Поскольку выполняется неравенство $3,1416 < 4,6 < 4,7124$, то есть $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, угол $ \alpha $ находится в третьей четверти. Косинус в этой четверти отрицателен.
Ответ: минус (-).

5) $ \alpha = -5,3 $
Угол $ \alpha = -5,3 $ радиан является отрицательным. Чтобы найти его положение, можно прибавить полный оборот $2\pi$ для получения эквивалентного положительного угла: $\alpha' = -5,3 + 2\pi \approx -5,3 + 2 \cdot 3,1416 = -5,3 + 6,2832 = 0,9832$. Теперь сравним $\alpha'$ с границами первой четверти ($0$ и $\frac{\pi}{2} \approx 1,5708$). Так как $0 < 0,9832 < 1,5708$, угол находится в первой четверти, где косинус положителен.
Ответ: плюс (+).

6) $ \alpha = -150^\circ $
Угол $ \alpha = -150^\circ $ задан в градусах. При отсчете углов по часовой стрелке, третья четверть соответствует диапазону от $-90^\circ$ до $-180^\circ$. Так как выполняется неравенство $-180^\circ < -150^\circ < -90^\circ$, угол $ \alpha $ находится в третьей четверти. Косинус в этой четверти отрицателен.
Ответ: минус (-).