Номер 442, страница 133 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 24. Знаки синуса, косинуса и тангенса - номер 442, страница 133.

Условие.

442 В какой четверти находится точка, полученная поворотом точки P (1; 0) на угол α, если:

1) $ \alpha = \frac{\pi}{6} $;

2) $ \alpha = \frac{3\pi}{4} $;

3) $ \alpha = -\frac{3\pi}{4} $;

4) $ \alpha = \frac{7\pi}{6} $;

5) $ \alpha = -\frac{7\pi}{6} $;

6) $ \alpha = 4,8 $;

7) $ \alpha = -1,31 $;

8) $ \alpha = -2,7 $?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы определить, в какой четверти находится точка, полученная поворотом начальной точки $P(1; 0)$ на угол $\alpha$, нужно определить, в какой четверти лежит сам угол $\alpha$. Координатные четверти на единичной окружности определяются следующими диапазонами углов (в радианах), отсчитываемых от положительного направления оси Ox против часовой стрелки:

• I четверть: от $0$ до $\frac{\pi}{2}$ ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$)
• II четверть: от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$ ($\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$)
• III четверть: от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$ ($\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$)
• IV четверть: от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$ ($\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$)

Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки, а отрицательные — по часовой стрелке.

1) Дан угол $\alpha = \frac{\pi}{6}$.
Поскольку $0 < \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2}$, то угол находится в первой четверти.
Ответ: I четверть.

2) Дан угол $\alpha = \frac{3\pi}{4}$.
Сравним этот угол с границами четвертей. $\frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{4}$ и $\pi = \frac{4\pi}{4}$.
Неравенство $\frac{2\pi}{4} < \frac{3\pi}{4} < \frac{4\pi}{4}$ показывает, что $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, следовательно, угол находится во второй четверти.
Ответ: II четверть.

3) Дан угол $\alpha = -\frac{3\pi}{4}$.
Это отрицательный угол. Чтобы найти соответствующий ему положительный угол в пределах от $0$ до $2\pi$, прибавим $2\pi$:
$\alpha' = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi = -\frac{3\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$.
Теперь определим четверть для угла $\frac{5\pi}{4}$. Так как $\pi = \frac{4\pi}{4}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{6\pi}{4}$, то выполняется неравенство $\pi < \frac{5\pi}{4} < \frac{3\pi}{2}$. Угол находится в третьей четверти.
Ответ: III четверть.

4) Дан угол $\alpha = \frac{7\pi}{6}$.
Сравним угол с границами. $\pi = \frac{6\pi}{6}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6}$.
Из неравенства $\pi < \frac{7\pi}{6} < \frac{3\pi}{2}$ следует, что угол находится в третьей четверти.
Ответ: III четверть.

5) Дан угол $\alpha = -\frac{7\pi}{6}$.
Найдем эквивалентный положительный угол: $\alpha' = -\frac{7\pi}{6} + 2\pi = -\frac{7\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Сравним угол $\frac{5\pi}{6}$ с границами. $\frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{6}$ и $\pi = \frac{6\pi}{6}$.
Так как $\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{6} < \pi$, угол находится во второй четверти.
Ответ: II четверть.

6) Дан угол $\alpha = 4,8$ радиан.
Используем приближенные значения границ четвертей в радианах: $\pi \approx 3,14$, $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$, $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$, $2\pi \approx 6,28$.
Сравниваем: $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71 < 4,8 < 6,28 \approx 2\pi$.
Следовательно, угол находится в четвертой четверти.
Ответ: IV четверть.

7) Дан угол $\alpha = -1,31$ радиан.
Это отрицательный угол, поэтому движение идет по часовой стрелке. Сравним его с границами:
$0 > -1,31 > -\frac{\pi}{2} \approx -1,57$.
Это означает, что угол находится между $0$ и $-\frac{\pi}{2}$, что соответствует четвертой четверти.
Ответ: IV четверть.

8) Дан угол $\alpha = -2,7$ радиан.
Это отрицательный угол. Сравним его с границами, отсчитывая по часовой стрелке:
$-\frac{\pi}{2} \approx -1,57$ и $-\pi \approx -3,14$.
Поскольку $-\pi < -2,7 < -\frac{\pi}{2}$, угол находится в третьей четверти.
Ответ: III четверть.