Номер 448, страница 134 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 24. Знаки синуса, косинуса и тангенса - номер 448, страница 134.

Условие.

448 Определить знаки чисел $ \sin \alpha $, $ \cos \alpha $, $ \operatorname{tg} \alpha $, если:

1) $ \alpha = 1; $

2) $ \alpha = 3; $

3) $ \alpha = -3,4; $

4) $ \alpha = -1,3. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для определения знаков тригонометрических функций необходимо определить, в какой координатной четверти находится угол $\alpha$. Поскольку в условии задачи не указаны единицы измерения угла (градусы), по умолчанию считаем, что углы даны в радианах.

Вспомним знаки тригонометрических функций по четвертям на единичной окружности:
I четверть ($0 < \alpha < \pi/2$): $\sin \alpha > 0$, $\cos \alpha > 0$, $\text{tg } \alpha > 0$.
II четверть ($\pi/2 < \alpha < \pi$): $\sin \alpha > 0$, $\cos \alpha < 0$, $\text{tg } \alpha < 0$.
III четверть ($\pi < \alpha < 3\pi/2$): $\sin \alpha < 0$, $\cos \alpha < 0$, $\text{tg } \alpha > 0$.
IV четверть ($3\pi/2 < \alpha < 2\pi$): $\sin \alpha < 0$, $\cos \alpha > 0$, $\text{tg } \alpha < 0$.

Для решения будем использовать приближенное значение числа $\pi \approx 3,14$. Тогда границы четвертей в радианах примерно равны: $\pi/2 \approx 1,57$; $\pi \approx 3,14$; $3\pi/2 \approx 4,71$; $2\pi \approx 6,28$.

1) α = 1;

Угол $\alpha = 1$ радиан. Сравним его с границами четвертей:
$0 < 1 < 1,57$, что соответствует неравенству $0 < \alpha < \pi/2$.
Следовательно, угол $\alpha = 1$ находится в I координатной четверти. В этой четверти все основные тригонометрические функции имеют положительный знак.
Таким образом, $\sin 1 > 0$, $\cos 1 > 0$ и $\text{tg } 1 > 0$.
Ответ: $\sin 1 > 0$ (плюс), $\cos 1 > 0$ (плюс), $\text{tg } 1 > 0$ (плюс).

2) α = 3;

Угол $\alpha = 3$ радиана. Сравним его с границами четвертей:
$1,57 < 3 < 3,14$, что соответствует неравенству $\pi/2 < \alpha < \pi$.
Следовательно, угол $\alpha = 3$ находится во II координатной четверти. В этой четверти синус положителен, а косинус и тангенс отрицательны.
Таким образом, $\sin 3 > 0$, $\cos 3 < 0$ и $\text{tg } 3 < 0$.
Ответ: $\sin 3 > 0$ (плюс), $\cos 3 < 0$ (минус), $\text{tg } 3 < 0$ (минус).

3) α = -3,4;

Угол $\alpha = -3,4$ радиана. Это отрицательный угол, поэтому движение по окружности происходит по часовой стрелке. Сравним его с отрицательными значениями границ четвертей: $0, -\pi/2 \approx -1,57, -\pi \approx -3,14, -3\pi/2 \approx -4,71$.
$-4,71 < -3,4 < -3,14$, что соответствует неравенству $-3\pi/2 < \alpha < -\pi$.
Следовательно, угол $\alpha = -3,4$ находится во II координатной четверти. Во II четверти синус положителен, а косинус и тангенс отрицательны.
Таким образом, $\sin(-3,4) > 0$, $\cos(-3,4) < 0$ и $\text{tg}(-3,4) < 0$.
Ответ: $\sin(-3,4) > 0$ (плюс), $\cos(-3,4) < 0$ (минус), $\text{tg}(-3,4) < 0$ (минус).

4) α = -1,3.

Угол $\alpha = -1,3$ радиана. Сравним его с границами четвертей:
$-1,57 < -1,3 < 0$, что соответствует неравенству $-\pi/2 < \alpha < 0$.
Следовательно, угол $\alpha = -1,3$ находится в IV координатной четверти. В этой четверти косинус положителен, а синус и тангенс отрицательны.
Таким образом, $\sin(-1,3) < 0$, $\cos(-1,3) > 0$ и $\text{tg}(-1,3) < 0$.
Ответ: $\sin(-1,3) < 0$ (минус), $\cos(-1,3) > 0$ (плюс), $\text{tg}(-1,3) < 0$ (минус).