Номер 455, страница 135 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

§ 24. Знаки синуса, косинуса и тангенса. Глава 5. Тригонометрические формулы - номер 455, страница 135.

455 В какой четверти находится точка, соответствующая числу α, если:

1) $\sin \alpha + \cos \alpha = -1,4$;

2) $\sin \alpha - \cos \alpha = 1,4?$

1) $ \sin \alpha + \cos \alpha = -1,4; $

Для определения четверти, в которой находится точка, соответствующая числу $\alpha$, возведем обе части данного уравнения в квадрат. Это позволит нам найти значение $\sin(2\alpha)$, что, в свою очередь, поможет определить возможные четверти для $\alpha$.

$ (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = (-1,4)^2 $

$ \sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = 1,96 $

Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $ и формулу синуса двойного угла $ 2\sin \alpha \cos \alpha = \sin(2\alpha) $. Подставив их в уравнение, получим:

$ 1 + \sin(2\alpha) = 1,96 $

$ \sin(2\alpha) = 1,96 - 1 = 0,96 $

Мы получили, что $ \sin(2\alpha) > 0 $. Синус положителен в I и II четвертях. Следовательно, угол $2\alpha$ находится в I или II четверти.

$ 2k\pi < 2\alpha < \pi + 2k\pi $, где $k$ — целое число.

Разделив неравенство на 2, получим возможные интервалы для $\alpha$:

$ k\pi < \alpha < \frac{\pi}{2} + k\pi $

При $k=0$ получаем $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $ (I четверть).

При $k=1$ получаем $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $ (III четверть).

Теперь проанализируем исходное уравнение $ \sin \alpha + \cos \alpha = -1,4 $. Сумма синуса и косинуса — отрицательное число.

• Если $\alpha$ находится в I четверти, то $ \sin \alpha > 0 $ и $ \cos \alpha > 0 $. Их сумма будет положительной, что противоречит условию.
• Если $\alpha$ находится в III четверти, то $ \sin \alpha < 0 $ и $ \cos \alpha < 0 $. Их сумма будет отрицательной, что соответствует условию.

Следовательно, точка, соответствующая числу $\alpha$, находится в III четверти.

Ответ: в III четверти.

2) $ \sin \alpha - \cos \alpha = 1,4? $

Решение аналогично предыдущему пункту. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$ (\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = (1,4)^2 $

$ \sin^2 \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = 1,96 $

Применяя те же тождества, что и в первом пункте, получаем:

$ 1 - \sin(2\alpha) = 1,96 $

$ -\sin(2\alpha) = 1,96 - 1 = 0,96 $

$ \sin(2\alpha) = -0,96 $

Мы получили, что $ \sin(2\alpha) < 0 $. Синус отрицателен в III и IV четвертях. Следовательно, угол $2\alpha$ находится в III или IV четверти.

$ \pi + 2k\pi < 2\alpha < 2\pi + 2k\pi $, где $k$ — целое число.

Разделив неравенство на 2, получим возможные интервалы для $\alpha$:

$ \frac{\pi}{2} + k\pi < \alpha < \pi + k\pi $

При $k=0$ получаем $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $ (II четверть).

При $k=1$ получаем $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $ (IV четверть).

Теперь проанализируем исходное уравнение $ \sin \alpha - \cos \alpha = 1,4 $. Разность $ \sin \alpha - \cos \alpha $ является положительным числом, что означает $ \sin \alpha > \cos \alpha $.

• Если $\alpha$ находится во II четверти, то $ \sin \alpha > 0 $ и $ \cos \alpha < 0 $. Разность $ \sin \alpha - \cos \alpha $ будет положительной (положительное число минус отрицательное), что соответствует условию.
• Если $\alpha$ находится в IV четверти, то $ \sin \alpha < 0 $ и $ \cos \alpha > 0 $. Разность $ \sin \alpha - \cos \alpha $ будет отрицательной (отрицательное число минус положительное), что противоречит условию.

Следовательно, точка, соответствующая числу $\alpha$, находится во II четверти.

Ответ: во II четверти.