Номер 457, страница 137 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 25. Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла - номер 457, страница 137.

Условие.

457 Могут ли одновременно выполняться равенства:

1) $\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{3}$ и $\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$;

2) $\sin \alpha = -\frac{4}{5}$ и $\cos \alpha = -\frac{3}{5}$;

3) $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{5}$ и $\cos \alpha = \frac{\sqrt{23}}{5}$;

4) $\sin \alpha = 0,2$ и $\cos \alpha = 0,8$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы два равенства для $sin \alpha$ и $cos \alpha$ могли выполняться одновременно, они должны удовлетворять основному тригонометрическому тождеству: $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$. Проверим это для каждого случая.

1) Дано: $sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{3}$ и $cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Подставим эти значения в тождество:
$sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = (\frac{\sqrt{2}}{3})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{3})^2 = \frac{2}{9} + \frac{3}{9} = \frac{5}{9}$.
Поскольку $\frac{5}{9} \neq 1$, эти равенства не могут выполняться одновременно.
Ответ: нет.

2) Дано: $sin \alpha = -\frac{4}{5}$ и $cos \alpha = -\frac{3}{5}$.
Подставим эти значения в тождество:
$sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = (-\frac{4}{5})^2 + (-\frac{3}{5})^2 = \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = \frac{25}{25} = 1$.
Поскольку $1 = 1$, эти равенства могут выполняться одновременно.
Ответ: да.

3) Дано: $sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{5}$ и $cos \alpha = \frac{\sqrt{23}}{5}$.
Подставим эти значения в тождество:
$sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = (-\frac{\sqrt{3}}{5})^2 + (\frac{\sqrt{23}}{5})^2 = \frac{3}{25} + \frac{23}{25} = \frac{26}{25}$.
Поскольку $\frac{26}{25} \neq 1$, эти равенства не могут выполняться одновременно.
Ответ: нет.

4) Дано: $sin \alpha = 0,2$ и $cos \alpha = 0,8$.
Подставим эти значения в тождество:
$sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = (0,2)^2 + (0,8)^2 = 0,04 + 0,64 = 0,68$.
Поскольку $0,68 \neq 1$, эти равенства не могут выполняться одновременно.
Ответ: нет.