Номер 463, страница 138 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 25. Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла - номер 463, страница 138.

Условие.

463 Известно, что tg α = 2. Найти значение выражения:

1) $\frac{\operatorname{ctg} \alpha+\operatorname{tg} \alpha}{\operatorname{ctg} \alpha-\operatorname{tg} \alpha}$;

2) $\frac{\sin \alpha-\cos \alpha}{\sin \alpha+\cos \alpha}$;

3) $\frac{2 \sin \alpha+3 \cos \alpha}{3 \sin \alpha-5 \cos \alpha}$;

4) $\frac{\sin ^{2} \alpha+2 \cos ^{2} \alpha}{\sin ^{2} \alpha-\cos ^{2} \alpha}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Дано выражение $ \frac{\ctg \alpha + \tg \alpha}{\ctg \alpha - \tg \alpha} $. По условию $ \tg \alpha = 2 $.
Сначала найдем значение котангенса, используя основное тригонометрическое тождество $ \ctg \alpha = \frac{1}{\tg \alpha} $:
$ \ctg \alpha = \frac{1}{2} $.
Теперь подставим известные значения $ \tg \alpha = 2 $ и $ \ctg \alpha = \frac{1}{2} $ в исходное выражение:
$ \frac{\ctg \alpha + \tg \alpha}{\ctg \alpha - \tg \alpha} = \frac{\frac{1}{2} + 2}{\frac{1}{2} - 2} = \frac{\frac{1+4}{2}}{\frac{1-4}{2}} = \frac{\frac{5}{2}}{-\frac{3}{2}} $.
Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:
$ \frac{5}{2} \cdot (-\frac{2}{3}) = -\frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 3} = -\frac{5}{3} $.
Ответ: $ -\frac{5}{3} $

2) Дано выражение $ \frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} $.
Чтобы выразить его через тангенс, разделим числитель и знаменатель дроби на $ \cos \alpha $. Это действие правомерно, так как если бы $ \cos \alpha = 0 $, то $ \tg \alpha $ был бы не определен, что противоречит условию $ \tg \alpha = 2 $.
$ \frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} = \frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\cos \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\cos \alpha}} $.
Используя определение тангенса $ \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $, упростим выражение:
$ \frac{\tg \alpha - 1}{\tg \alpha + 1} $.
Подставим известное значение $ \tg \alpha = 2 $:
$ \frac{2 - 1}{2 + 1} = \frac{1}{3} $.
Ответ: $ \frac{1}{3} $

3) Дано выражение $ \frac{2 \sin \alpha + 3 \cos \alpha}{3 \sin \alpha - 5 \cos \alpha} $.
Как и в предыдущем примере, разделим числитель и знаменатель на $ \cos \alpha $:
$ \frac{2 \sin \alpha + 3 \cos \alpha}{3 \sin \alpha - 5 \cos \alpha} = \frac{\frac{2 \sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{3 \cos \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{3 \sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{5 \cos \alpha}{\cos \alpha}} $.
Заменим $ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $ на $ \tg \alpha $:
$ \frac{2 \tg \alpha + 3}{3 \tg \alpha - 5} $.
Подставим $ \tg \alpha = 2 $:
$ \frac{2 \cdot 2 + 3}{3 \cdot 2 - 5} = \frac{4 + 3}{6 - 5} = \frac{7}{1} = 7 $.
Ответ: $ 7 $

4) Дано выражение $ \frac{\sin^2 \alpha + 2 \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha} $.
В этом выражении все члены имеют вторую степень. Чтобы выразить его через тангенс, разделим числитель и знаменатель дроби на $ \cos^2 \alpha $:
$ \frac{\sin^2 \alpha + 2 \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha} = \frac{\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + \frac{2 \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}}{\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}} $.
Используя тождество $ \tg^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} $, получаем:
$ \frac{\tg^2 \alpha + 2}{\tg^2 \alpha - 1} $.
По условию $ \tg \alpha = 2 $, следовательно, $ \tg^2 \alpha = 2^2 = 4 $.
Подставим это значение в полученное выражение:
$ \frac{4 + 2}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2 $.
Ответ: $ 2 $