Номер 444, страница 134 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 24. Знаки синуса, косинуса и тангенса - номер 444, страница 134.

Условие.

444 Определить знак числа $ \sin \alpha $, если:

1) $ \alpha = \frac{5\pi}{4} $;

2) $ \alpha = -\frac{33\pi}{7} $;

3) $ \alpha = -\frac{4}{3} \pi $;

4) $ \alpha = -0,1\pi $;

5) $ \alpha = 5,1 $;

6) $ \alpha = -470^\circ $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы определить знак числа $ \sin \alpha $, нужно определить, в какой четверти тригонометрической окружности находится угол $ \alpha $. Знак синуса положителен в I и II четвертях (от $ 0 $ до $ \pi $ радиан или от $ 0^\circ $ до $ 180^\circ $) и отрицателен в III и IV четвертях (от $ \pi $ до $ 2\pi $ радиан или от $ 180^\circ $ до $ 360^\circ $).

1) $ \alpha = \frac{5\pi}{4} $

Определим, в какой четверти находится угол. Сравним $ \frac{5\pi}{4} $ с границами четвертей: $ \pi $ и $ \frac{3\pi}{2} $.
Поскольку $ \pi = \frac{4\pi}{4} $ и $ \frac{3\pi}{2} = \frac{6\pi}{4} $, то выполняется неравенство $ \pi < \frac{5\pi}{4} < \frac{3\pi}{2} $.
Следовательно, угол $ \alpha $ находится в III четверти. В этой четверти синус отрицателен.
Ответ: $ \sin \frac{5\pi}{4} < 0 $.

2) $ \alpha = -\frac{33\pi}{7} $

Упростим угол, прибавив к нему целое число полных оборотов $ 2\pi $, чтобы получить угол в промежутке от $ 0 $ до $ 2\pi $.
$ 2\pi = \frac{14\pi}{7} $. Найдем такое целое $ k $, чтобы $ -\frac{33\pi}{7} + k \cdot 2\pi > 0 $.
Возьмем $ k=3 $: $ -\frac{33\pi}{7} + 3 \cdot 2\pi = -\frac{33\pi}{7} + 6\pi = -\frac{33\pi}{7} + \frac{42\pi}{7} = \frac{9\pi}{7} $.
Теперь определим четверть для угла $ \frac{9\pi}{7} $.
Поскольку $ \pi = \frac{7\pi}{7} $ и $ \frac{3\pi}{2} = \frac{10.5\pi}{7} $, то $ \pi < \frac{9\pi}{7} < \frac{3\pi}{2} $.
Угол $ \alpha $ находится в III четверти. В этой четверти синус отрицателен.
Ответ: $ \sin(-\frac{33\pi}{7}) < 0 $.

3) $ \alpha = -\frac{4\pi}{3} $

Найдем положительный котерминальный угол, прибавив $ 2\pi $.
$ -\frac{4\pi}{3} + 2\pi = -\frac{4\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $.
Определим четверть для угла $ \frac{2\pi}{3} $.
Поскольку $ \frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{3} < \pi $, угол $ \alpha $ находится во II четверти. В этой четверти синус положителен.
Ответ: $ \sin(-\frac{4\pi}{3}) > 0 $.

4) $ \alpha = -0,1\pi $

Угол отрицательный, движение по окружности происходит по часовой стрелке. Сравним его с границами четвертей.
Поскольку $ -\frac{\pi}{2} < -0,1\pi < 0 $, угол $ \alpha $ находится в IV четверти. В этой четверти синус отрицателен.
Ответ: $ \sin(-0,1\pi) < 0 $.

5) $ \alpha = 5,1 $

Угол дан в радианах. Сравним его с приближенными значениями границ четвертей, используя $ \pi \approx 3,14159 $.
$ \frac{3\pi}{2} \approx \frac{3 \cdot 3,14159}{2} \approx 4,71 $
$ 2\pi \approx 2 \cdot 3,14159 \approx 6,28 $
Поскольку $ 4,71 < 5,1 < 6,28 $, то есть $ \frac{3\pi}{2} < 5,1 < 2\pi $, угол $ \alpha $ находится в IV четверти. В этой четверти синус отрицателен.
Ответ: $ \sin(5,1) < 0 $.

6) $ \alpha = -470^\circ $

Найдем котерминальный угол в промежутке $ [0^\circ, 360^\circ) $, прибавляя кратное $ 360^\circ $.
$ -470^\circ + 2 \cdot 360^\circ = -470^\circ + 720^\circ = 250^\circ $.
Определим четверть для угла $ 250^\circ $.
Поскольку $ 180^\circ < 250^\circ < 270^\circ $, угол $ \alpha $ находится в III четверти. В этой четверти синус отрицателен.
Ответ: $ \sin(-470^\circ) < 0 $.