Номер 439, страница 131 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 23. Определение синуса, косинуса и тангенса угла - номер 439, страница 131.

Условие.

439 Решить уравнение:

1) $ \sin x = -1 $;

2) $ \cos x = -1 $;

3) $ \sin 3x = 0 $;

4) $ \cos 0.5x = 0 $;

5) $ \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{2\pi}{3} \right) = 1 $;

6) $ \cos \left( 5x + \frac{4\pi}{5} \right) = 1. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $sin \, x = -1$
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение для уравнения $sin \, x = -1$ имеет вид $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in Z$ (Z — множество целых чисел). Это соответствует точкам на единичной окружности с ординатой, равной -1.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z$.

2) $cos \, x = -1$
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение для уравнения $cos \, x = -1$ имеет вид $x = \pi + 2\pi n$, где $n \in Z$. Это соответствует точкам на единичной окружности с абсциссой, равной -1.
Ответ: $x = \pi + 2\pi n, n \in Z$.

3) $sin \, 3x = 0$
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Синус равен нулю, когда его аргумент равен $\pi n$, где $n \in Z$.
Приравняем аргумент синуса к этому значению:
$3x = \pi n$
Теперь разделим обе части уравнения на 3, чтобы выразить $x$:
$x = \frac{\pi n}{3}$
Ответ: $x = \frac{\pi n}{3}, n \in Z$.

4) $cos \, 0,5x = 0$
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Косинус равен нулю, когда его аргумент равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$.
Приравняем аргумент косинуса к этому значению:
$0,5x = \frac{\pi}{2} + \pi n$
Заменим $0,5$ на $\frac{1}{2}$:
$\frac{1}{2}x = \frac{\pi}{2} + \pi n$
Теперь умножим обе части уравнения на 2, чтобы выразить $x$:
$x = 2 \cdot (\frac{\pi}{2} + \pi n) = \pi + 2\pi n$
Ответ: $x = \pi + 2\pi n, n \in Z$.

5) $sin \left(\frac{x}{2} + \frac{2\pi}{3}\right) = 1$
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Синус равен единице, когда его аргумент равен $\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in Z$.
Приравняем аргумент синуса к этому значению:
$\frac{x}{2} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$
Выразим $\frac{x}{2}$:
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
Приведем дроби к общему знаменателю 6:
$\frac{x}{2} = \frac{3\pi}{6} - \frac{4\pi}{6} + 2\pi n$
$\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$
Умножим обе части на 2, чтобы найти $x$:
$x = 2 \cdot \left(-\frac{\pi}{6} + 2\pi n\right) = -\frac{2\pi}{6} + 4\pi n = -\frac{\pi}{3} + 4\pi n$
Ответ: $x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi n, n \in Z$.

6) $cos \left(5x + \frac{4\pi}{5}\right) = 1$
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Косинус равен единице, когда его аргумент равен $2\pi n$, где $n \in Z$.
Приравняем аргумент косинуса к этому значению:
$5x + \frac{4\pi}{5} = 2\pi n$
Выразим $5x$:
$5x = 2\pi n - \frac{4\pi}{5}$
Разделим обе части на 5, чтобы найти $x$:
$x = \frac{2\pi n}{5} - \frac{4\pi}{5 \cdot 5} = \frac{2\pi n}{5} - \frac{4\pi}{25}$
Ответ: $x = \frac{2\pi n}{5} - \frac{4\pi}{25}, n \in Z$.