Номер 434, страница 131 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 23. Определение синуса, косинуса и тангенса угла - номер 434, страница 131.

Условие.

434 Найти значение выражения:

1) $3 \sin \frac{\pi}{6} + 2 \cos \frac{\pi}{6} - \operatorname{tg} \frac{\pi}{3};$

2) $5 \sin \frac{\pi}{4} + 3 \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} - 5 \cos \frac{\pi}{4} - 10 \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4};$

3) $(2 \operatorname{tg} \frac{\pi}{6} - \operatorname{tg} \frac{\pi}{3}) : \cos \frac{\pi}{6};$

4) $\sin \frac{\pi}{3} \cdot \cos \frac{\pi}{6} - \operatorname{tg} \frac{\pi}{4}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы найти значение выражения $3 \sin \frac{\pi}{6} + 2 \cos \frac{\pi}{6} - \text{tg} \frac{\pi}{3}$, подставим табличные значения тригонометрических функций.
Мы знаем, что $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\text{tg} \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.
Подставляем эти значения в выражение:
$3 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} = \frac{3}{2} + \sqrt{3} - \sqrt{3} = \frac{3}{2} = 1,5$.
Ответ: $1,5$.

2) Чтобы найти значение выражения $5 \sin \frac{\pi}{4} + 3 \text{tg} \frac{\pi}{4} - 5 \cos \frac{\pi}{4} - 10 \text{ctg} \frac{\pi}{4}$, подставим табличные значения.
Мы знаем, что $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\text{tg} \frac{\pi}{4} = 1$ и $\text{ctg} \frac{\pi}{4} = 1$.
Подставляем эти значения в выражение:
$5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 \cdot 1 - 5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 10 \cdot 1 = \frac{5\sqrt{2}}{2} + 3 - \frac{5\sqrt{2}}{2} - 10$.
Слагаемые $\frac{5\sqrt{2}}{2}$ и $-\frac{5\sqrt{2}}{2}$ взаимно уничтожаются.
Остается: $3 - 10 = -7$.
Ответ: $-7$.

3) Чтобы найти значение выражения $(2 \text{tg} \frac{\pi}{6} - \text{tg} \frac{\pi}{3}) : \cos \frac{\pi}{6}$, подставим табличные значения.
Мы знаем, что $\text{tg} \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $\text{tg} \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ и $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Сначала вычислим значение в скобках:
$2 \text{tg} \frac{\pi}{6} - \text{tg} \frac{\pi}{3} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3} - \frac{3\sqrt{3}}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Теперь выполним деление:
$(-\frac{\sqrt{3}}{3}) : \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{2}{3}$.
Ответ: $-\frac{2}{3}$.

4) Чтобы найти значение выражения $\sin \frac{\pi}{3} \cdot \cos \frac{\pi}{6} - \text{tg} \frac{\pi}{4}$, подставим табличные значения.
Мы знаем, что $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\text{tg} \frac{\pi}{4} = 1$.
Подставляем эти значения в выражение:
$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 = \frac{(\sqrt{3})^2}{2 \cdot 2} - 1 = \frac{3}{4} - 1 = \frac{3}{4} - \frac{4}{4} = -\frac{1}{4}$.
Ответ: $-\frac{1}{4}$.