Номер 427, страница 126 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 22. Поворот точки вокруг начала координат - номер 427, страница 126.

Условие.

427 Найти координаты точки, полученной поворотом точки $P (1; 0)$ на угол ($k$ — целое число):

1) $-\frac{3\pi}{2} + 2\pi k$;

2) $\frac{5\pi}{2} + 2\pi k$;

3) $\frac{7\pi}{2} + 2\pi k$;

4) $-\frac{9\pi}{2} + 2\pi k$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Координаты точки, полученной поворотом точки $P(x_0, y_0)$ на угол $\alpha$ вокруг начала координат, вычисляются по формулам:
$x' = x_0 \cos \alpha - y_0 \sin \alpha$
$y' = x_0 \sin \alpha + y_0 \cos \alpha$
В данном случае, начальная точка $P(1; 0)$, поэтому $x_0=1$ и $y_0=0$. Формулы упрощаются до:
$x' = 1 \cdot \cos \alpha - 0 \cdot \sin \alpha = \cos \alpha$
$y' = 1 \cdot \sin \alpha + 0 \cdot \cos \alpha = \sin \alpha$
Таким образом, для нахождения координат новой точки $P'$ нужно вычислить $(\cos \alpha, \sin \alpha)$ для каждого заданного угла $\alpha$. Слагаемое $2\pi k$ (где $k$ — целое число) представляет собой целое число полных оборотов, которые не меняют конечное положение точки. Поэтому его можно отбросить при вычислениях, так как тригонометрические функции синус и косинус имеют период $2\pi$.

1) Угол поворота $\alpha = -\frac{3\pi}{2} + 2\pi k$.
Найдем координаты новой точки $(x, y)$:
$x = \cos(-\frac{3\pi}{2} + 2\pi k) = \cos(-\frac{3\pi}{2})$
Используя свойство четности косинуса ($\cos(-a) = \cos(a)$), получаем:
$x = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$.
$y = \sin(-\frac{3\pi}{2} + 2\pi k) = \sin(-\frac{3\pi}{2})$
Используя свойство нечетности синуса ($\sin(-a) = -\sin(a)$), получаем:
$y = -\sin(\frac{3\pi}{2}) = -(-1) = 1$.
Координаты полученной точки: $(0; 1)$.
Ответ: $(0; 1)$

2) Угол поворота $\alpha = \frac{5\pi}{2} + 2\pi k$.
Упростим угол, выделив целое число оборотов: $\frac{5\pi}{2} = \frac{4\pi + \pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$.
Поворот на угол $\frac{5\pi}{2}$ эквивалентен повороту на угол $\frac{\pi}{2}$.
Найдем координаты новой точки:
$x = \cos(\frac{5\pi}{2} + 2\pi k) = \cos(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
$y = \sin(\frac{5\pi}{2} + 2\pi k) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
Координаты полученной точки: $(0; 1)$.
Ответ: $(0; 1)$

3) Угол поворота $\alpha = \frac{7\pi}{2} + 2\pi k$.
Упростим угол: $\frac{7\pi}{2} = \frac{4\pi + 3\pi}{2} = 2\pi + \frac{3\pi}{2}$.
Поворот на угол $\frac{7\pi}{2}$ эквивалентен повороту на угол $\frac{3\pi}{2}$.
Найдем координаты новой точки:
$x = \cos(\frac{7\pi}{2} + 2\pi k) = \cos(2\pi + \frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$.
$y = \sin(\frac{7\pi}{2} + 2\pi k) = \sin(2\pi + \frac{3\pi}{2}) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$.
Координаты полученной точки: $(0; -1)$.
Ответ: $(0; -1)$

4) Угол поворота $\alpha = -\frac{9\pi}{2} + 2\pi k$.
Упростим угол, прибавив несколько полных оборотов ($2\pi \cdot n$, где $n$ - целое), чтобы получить угол в привычном диапазоне.
$-\frac{9\pi}{2} = -4.5\pi$. Прибавим $6\pi$ (три полных оборота): $-\frac{9\pi}{2} + 6\pi = -\frac{9\pi}{2} + \frac{12\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$.
Поворот на угол $-\frac{9\pi}{2}$ эквивалентен повороту на угол $\frac{3\pi}{2}$.
Найдем координаты новой точки:
$x = \cos(-\frac{9\pi}{2} + 2\pi k) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$.
$y = \sin(-\frac{9\pi}{2} + 2\pi k) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$.
Координаты полученной точки: $(0; -1)$.
Ответ: $(0; -1)$