Номер 422, страница 125 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 22. Поворот точки вокруг начала координат - номер 422, страница 125.

Условие.

422 Найти координаты точки, полученной поворотом точки $P (1; 0)$ на угол ($k$ — целое число):

1) $\frac{\pi}{2} \pm \pi$; 2) $\frac{\pi}{4} \pm \pi$; 3) $-\frac{3\pi}{2} + \pi k$; 4) $-\pi + \pi k$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Координаты точки, полученной поворотом начальной точки $P(1; 0)$ на угол $\alpha$, определяются по формулам $x = \cos(\alpha)$ и $y = \sin(\alpha)$. Таким образом, новая точка имеет координаты $(\cos(\alpha), \sin(\alpha))$.

1) $\frac{\pi}{2} \pm \pi$

Данное выражение задает два возможных угла поворота. Найдем координаты точки для каждого из них.
Первый угол: $\alpha_1 = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}$.
Координаты точки: $(\cos(\frac{3\pi}{2}), \sin(\frac{3\pi}{2})) = (0, -1)$.
Второй угол: $\alpha_2 = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2}$.
Координаты точки: $(\cos(-\frac{\pi}{2}), \sin(-\frac{\pi}{2})) = (0, -1)$.
В обоих случаях мы получаем одну и ту же точку.

Ответ: $(0, -1)$.

2) $\frac{\pi}{4} \pm \pi$

Аналогично предыдущему пункту, рассмотрим два угла.
Первый угол: $\alpha_1 = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$.
Координаты точки: $(\cos(\frac{5\pi}{4}), \sin(\frac{5\pi}{4})) = (-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.
Второй угол: $\alpha_2 = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}$.
Координаты точки: $(\cos(-\frac{3\pi}{4}), \sin(-\frac{3\pi}{4})) = (-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.
В обоих случаях мы получаем одну и ту же точку, так как углы $\frac{5\pi}{4}$ и $-\frac{3\pi}{4}$ являются котерминальными (отличаются на $2\pi$).

Ответ: $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

3) $-\frac{3\pi}{2} + \pi k$

В этом случае угол поворота зависит от целого числа $k$. Результат будет различным в зависимости от четности $k$.
Если $k$ — четное число, т.е. $k = 2n$ (где $n$ — целое число), то угол $\alpha = -\frac{3\pi}{2} + 2\pi n$. Положение точки на окружности определяется углом $-\frac{3\pi}{2}$, что эквивалентно углу $\frac{\pi}{2}$.
Координаты точки: $(\cos(-\frac{3\pi}{2}), \sin(-\frac{3\pi}{2})) = (\cos(\frac{\pi}{2}), \sin(\frac{\pi}{2})) = (0, 1)$.
Если $k$ — нечетное число, т.е. $k = 2n + 1$, то угол $\alpha = -\frac{3\pi}{2} + (2n + 1)\pi = -\frac{3\pi}{2} + \pi + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Положение точки определяется углом $-\frac{\pi}{2}$.
Координаты точки: $(\cos(-\frac{\pi}{2}), \sin(-\frac{\pi}{2})) = (0, -1)$.
Таким образом, получаем две возможные точки.

Ответ: $(0, 1)$ и $(0, -1)$.

4) $-\pi + \pi k$

Угол поворота можно записать как $\alpha = (k-1)\pi$. Результат зависит от четности $k$.
Если $k$ — четное число, т.е. $k = 2n$, то $k-1=2n-1$ (нечетное). Угол $\alpha = (2n-1)\pi$. Это любой нечетный угол, кратный $\pi$ (например, $\pi, 3\pi, -\pi$).
Координаты точки: $(\cos((2n-1)\pi), \sin((2n-1)\pi)) = (-1, 0)$.
Если $k$ — нечетное число, т.е. $k = 2n + 1$, то $k-1=2n$ (четное). Угол $\alpha = 2n\pi$. Это любой четный угол, кратный $\pi$ (например, $0, 2\pi, -2\pi$).
Координаты точки: $(\cos(2n\pi), \sin(2n\pi)) = (1, 0)$.
Таким образом, получаем две возможные точки.

Ответ: $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.