Номер 417, страница 125 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Параграф 22. Поворот точки вокруг начала координат. Глава 5. Тригонометрические формулы - номер 417, страница 125.

Условие.

На единичной окружности построить точку, полученную поворотом точки (1; 0) на заданный угол (417–419).

417 1) $\frac{\pi}{4}$; 2) $-\frac{\pi}{3}$; 3) $-\frac{3}{4}\pi$; 4) $\frac{4\pi}{3}$; 5) $-\frac{5}{4}\pi$; 6) $-225^\circ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для построения точки, соответствующей углу $\alpha = \frac{\pi}{4}$, мы должны повернуть начальную точку $P_0(1; 0)$ на единичной окружности против часовой стрелки (поскольку угол положительный) на угол $\frac{\pi}{4}$ радиан, что соответствует $45^{\circ}$.
Начальная точка $P_0(1; 0)$ находится на положительной части оси Ox. Поворот на $\frac{\pi}{4}$ переместит точку в первую координатную четверть. Эта точка будет лежать на биссектрисе первого координатного угла (прямая $y=x$).
Координаты новой точки $P_1(x; y)$ можно найти по формулам: $x = \cos(\alpha)$ и $y = \sin(\alpha)$.
$x = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$y = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Таким образом, искомая точка $P_1$ имеет координаты $(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$.
Ответ: Точка $P_1(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$ находится в первой четверти на биссектрисе координатного угла.

2) Для построения точки, соответствующей углу $\alpha = -\frac{\pi}{3}$, мы поворачиваем начальную точку $P_0(1; 0)$ по часовой стрелке (поскольку угол отрицательный) на угол $\frac{\pi}{3}$ радиан, что соответствует $60^{\circ}$.
Поворот по часовой стрелке на $60^{\circ}$ переместит точку в четвертую координатную четверть.
Координаты новой точки $P_2(x; y)$:
$x = \cos(-\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$
$y = \sin(-\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Таким образом, искомая точка $P_2$ имеет координаты $(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$.
Ответ: Точка $P_2(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$ находится в четвертой четверти.

3) Для построения точки, соответствующей углу $\alpha = -\frac{3\pi}{4}$, мы поворачиваем начальную точку $P_0(1; 0)$ по часовой стрелке на угол $\frac{3\pi}{4}$ радиан, что соответствует $135^{\circ}$.
Угол $\frac{3\pi}{4}$ можно представить как $\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}$. Поворот по часовой стрелке на $\frac{\pi}{2}$ ($90^{\circ}$) перемещает точку в $(0; -1)$, а затем дополнительный поворот на $\frac{\pi}{4}$ ($45^{\circ}$) по часовой стрелке перемещает ее в третью координатную четверть. Эта точка будет лежать на биссектрисе третьего координатного угла (прямая $y=x$).
Координаты новой точки $P_3(x; y)$:
$x = \cos(-\frac{3\pi}{4}) = \cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$y = \sin(-\frac{3\pi}{4}) = -\sin(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Таким образом, искомая точка $P_3$ имеет координаты $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$.
Ответ: Точка $P_3(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$ находится в третьей четверти на биссектрисе координатного угла.

4) Для построения точки, соответствующей углу $\alpha = \frac{4\pi}{3}$, мы поворачиваем начальную точку $P_0(1; 0)$ против часовой стрелки на угол $\frac{4\pi}{3}$ радиан, что соответствует $240^{\circ}$.
Угол $\frac{4\pi}{3}$ можно представить как $\pi + \frac{\pi}{3}$. Поворот против часовой стрелки на $\pi$ ($180^{\circ}$) перемещает точку в $(-1; 0)$, а затем дополнительный поворот на $\frac{\pi}{3}$ ($60^{\circ}$) против часовой стрелки перемещает ее в третью координатную четверть.
Координаты новой точки $P_4(x; y)$:
$x = \cos(\frac{4\pi}{3}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$
$y = \sin(\frac{4\pi}{3}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Таким образом, искомая точка $P_4$ имеет координаты $(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$.
Ответ: Точка $P_4(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$ находится в третьей четверти.

5) Для построения точки, соответствующей углу $\alpha = -\frac{5\pi}{4}$, нужно повернуть начальную точку $P_0(1; 0)$ по часовой стрелке на угол $\frac{5\pi}{4}$ радиан ($225^{\circ}$).
Чтобы упростить построение, найдем эквивалентный положительный угол, прибавив полный оборот $2\pi$:
$-\frac{5\pi}{4} + 2\pi = -\frac{5\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
Это означает, что нам нужно повернуть точку $P_0(1; 0)$ против часовой стрелки на угол $\frac{3\pi}{4}$ радиан ($135^{\circ}$). Этот поворот помещает точку во вторую координатную четверть. Точка будет лежать на биссектрисе второго координатного угла (прямая $y=-x$).
Координаты новой точки $P_5(x; y)$:
$x = \cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$y = \sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Искомая точка $P_5$ имеет координаты $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$.
Ответ: Точка $P_5(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$ находится во второй четверти на биссектрисе координатного угла.

6) Для построения точки, соответствующей углу $\alpha = -225^{\circ}$, нужно повернуть начальную точку $P_0(1; 0)$ по часовой стрелке на $225^{\circ}$.
Найдем эквивалентный положительный угол, прибавив $360^{\circ}$:
$-225^{\circ} + 360^{\circ} = 135^{\circ}$.
Таким образом, задача сводится к повороту точки $P_0(1; 0)$ против часовой стрелки на $135^{\circ}$. Этот случай идентичен предыдущему пункту. Точка окажется во второй четверти на биссектрисе второго координатного угла (прямая $y=-x$).
Координаты новой точки $P_6(x; y)$:
$x = \cos(135^{\circ}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$y = \sin(135^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Искомая точка $P_6$ имеет координаты $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$.
Ответ: Точка $P_6(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$ находится во второй четверти на биссектрисе координатного угла.