Номер 419, страница 125 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 22. Поворот точки вокруг начала координат - номер 419, страница 125.

Условие.

419 1) $\frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, $k$ — целое число;

2) $-\frac{3}{2}\pi + 2\pi k$, $k$ — целое число;

3) $-\pi + 2\pi k$, $k$ — целое число;

4) $-\frac{\pi}{4} + 2\pi k$, $k$ — целое число.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Данная формула $ \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $ описывает множество всех углов, которые на единичной тригонометрической окружности соответствуют одной и той же точке. Слагаемое $2\pi k$, где $k$ — целое число, означает, что мы можем прибавлять или вычитать любое целое число полных оборотов ($360^\circ$ или $2\pi$ радиан), не меняя положения конечной точки на окружности.

Для нахождения основного угла (главного значения) можно положить $k=0$. В этом случае мы получаем угол $ \alpha = \frac{3\pi}{2} $. Этот угол соответствует $ \frac{3 \cdot 180^\circ}{2} = 270^\circ $. На единичной окружности это точка с координатами $(0, -1)$, расположенная на отрицательной полуоси OY.

Ответ: Все углы вида $ \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $ соответствуют на единичной окружности точке, представляющей угол $ \frac{3\pi}{2} $ радиан ($270^\circ$).

2) Формула $ -\frac{3\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $ также описывает множество углов, соответствующих одной точке на окружности.

При $k=0$ мы получаем угол $ \alpha = -\frac{3\pi}{2} $. Чтобы привести этот угол к стандартному положительному значению в интервале $[0, 2\pi)$, мы можем прибавить к нему $2\pi$ (что соответствует случаю $k=1$ в исходной формуле):

$ -\frac{3\pi}{2} + 2\pi = \frac{-3\pi + 4\pi}{2} = \frac{\pi}{2} $.

Угол $ \frac{\pi}{2} $ радиан равен $90^\circ$. На единичной окружности это точка с координатами $(0, 1)$, расположенная на положительной полуоси OY.

Ответ: Все углы вида $ -\frac{3\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $ эквивалентны углам вида $ \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $ и соответствуют точке, представляющей угол $ \frac{\pi}{2} $ радиан ($90^\circ$).

3) Формула $ -\pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $ описывает множество углов, соответствующих одной точке на окружности.

При $k=0$ угол равен $ \alpha = -\pi $. Приведем его к положительному значению в интервале $[0, 2\pi)$, прибавив $2\pi$ (что соответствует случаю $k=1$):

$ -\pi + 2\pi = \pi $.

Угол $ \pi $ радиан равен $180^\circ$. На единичной окружности это точка с координатами $(-1, 0)$, расположенная на отрицательной полуоси OX.

Ответ: Все углы вида $ -\pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $ эквивалентны углам вида $ \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $ и соответствуют точке, представляющей угол $ \pi $ радиан ($180^\circ$).

4) Формула $ -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $ описывает множество углов, соответствующих одной точке на окружности.

При $k=0$ угол равен $ \alpha = -\frac{\pi}{4} $. Этот угол находится в IV четверти. Приведем его к положительному значению в интервале $[0, 2\pi)$, прибавив $2\pi$ (случай $k=1$):

$ -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{-\pi + 8\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} $.

Угол $ \frac{7\pi}{4} $ радиан равен $315^\circ$ (а угол $-\frac{\pi}{4}$ радиан равен $-45^\circ$). На единичной окружности это точка в IV четверти с координатами $(\cos(\frac{7\pi}{4}), \sin(\frac{7\pi}{4})) = (\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Ответ: Все углы вида $ -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $ эквивалентны углам вида $ \frac{7\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $ и соответствуют точке, представляющей угол $ \frac{7\pi}{4} $ радиан ($315^\circ$).