Номер 423, страница 125 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 22. Поворот точки вокруг начала координат - номер 423, страница 125.

Условие.

423 Найти все углы, на которые нужно повернуть точку $P (1; 0)$, чтобы получить точку с координатами:

1) $(1; 0);$

2) $(-1; 0);$

3) $(0; 1);$

4) $(0; -1).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Исходная точка $P(1; 0)$ находится на единичной окружности, что соответствует углу поворота $0$ радиан. При повороте точки $P$ на угол $\alpha$ вокруг начала координат, ее новые координаты $(x, y)$ будут равны $(\cos \alpha, \sin \alpha)$. Следовательно, для нахождения всех углов, нам необходимо для каждого случая решить систему тригонометрических уравнений и учесть периодичность тригонометрических функций.

1) (1; 0)

Чтобы получить точку с координатами $(1; 0)$, нам нужно найти все углы $\alpha$, для которых выполняются условия:
$\cos \alpha = 1$
$\sin \alpha = 0$
Эти условия выполняются, когда угол поворота равен $0$ радиан. Так как добавление или вычитание любого количества полных оборотов ($2\pi$ радиан) возвращает точку в то же положение, то все углы, удовлетворяющие этим условиям, можно записать в виде:
$\alpha = 0 + 2\pi k = 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Ответ: $\alpha = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) (-1; 0)

Чтобы получить точку с координатами $(-1; 0)$, нужно решить систему:
$\cos \alpha = -1$
$\sin \alpha = 0$
Эта точка на единичной окружности диаметрально противоположна начальной и соответствует углу поворота в $\pi$ радиан ($180^\circ$). Учитывая периодичность, общее решение для всех таких углов имеет вид:
$\alpha = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\alpha = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3) (0; 1)

Чтобы получить точку с координатами $(0; 1)$, нужно решить систему:
$\cos \alpha = 0$
$\sin \alpha = 1$
Эта точка находится на положительной полуоси ординат и соответствует углу поворота в $\frac{\pi}{2}$ радиан ($90^\circ$). Общее решение для всех углов, переводящих точку $P(1;0)$ в точку $(0;1)$, записывается как:
$\alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4) (0; -1)

Чтобы получить точку с координатами $(0; -1)$, нужно решить систему:
$\cos \alpha = 0$
$\sin \alpha = -1$
Эта точка находится на отрицательной полуоси ординат. Ей соответствует угол поворота в $\frac{3\pi}{2}$ радиан ($270^\circ$) или, что эквивалентно, в $-\frac{\pi}{2}$ радиан ($-90^\circ$). Используя второй вариант, общее решение для всех таких углов будет:
$\alpha = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\alpha = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.