Номер 426, страница 126 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 22. Поворот точки вокруг начала координат - номер 426, страница 126.

Условие.

426 На единичной окружности построить точку, полученную поворотом точки $P(1; 0)$ на угол:

1) $4,5\pi$;

2) $5,5\pi$;

3) $-6\pi$;

4) $-7\pi$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для построения точек на единичной окружности, полученных поворотом начальной точки P(1; 0), необходимо определить конечное положение после поворота на заданный угол. Начальная точка P(1; 0) соответствует углу 0 радиан. Положительные углы означают поворот против часовой стрелки, а отрицательные — по часовой. Полный оборот составляет $2\pi$ радиан. Повороты на угол, кратный $2\pi$, возвращают точку в исходное положение, поэтому их можно отбросить для упрощения. Координаты $(x, y)$ точки на единичной окружности после поворота на угол $\alpha$ равны $(\cos \alpha, \sin \alpha)$.

1) 4,5π;
Угол поворота равен $4,5\pi$. Мы можем представить этот угол как $4,5\pi = 4\pi + 0,5\pi = 2 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{2}$. Это означает, что точка совершает два полных оборота против часовой стрелки, возвращаясь в исходное положение P(1; 0), а затем поворачивается еще на угол $\frac{\pi}{2}$ (90°) против часовой стрелки. Поворот из точки (1; 0) на угол $\frac{\pi}{2}$ перемещает ее в верхнюю точку единичной окружности. Координаты этой точки: $(\cos(4,5\pi); \sin(4,5\pi)) = (\cos(\frac{\pi}{2}); \sin(\frac{\pi}{2})) = (0; 1)$.
Ответ: Точка, полученная поворотом, имеет координаты (0; 1) и находится на положительной полуоси Oy.

2) 5,5π;
Угол поворота равен $5,5\pi$. Представим этот угол как $5,5\pi = 4\pi + 1,5\pi = 2 \cdot 2\pi + \frac{3\pi}{2}$. Это соответствует двум полным оборотам против часовой стрелки и дополнительному повороту на угол $\frac{3\pi}{2}$ (270°). Поворот из точки (1; 0) на угол $\frac{3\pi}{2}$ перемещает ее в нижнюю точку единичной окружности. Координаты этой точки: $(\cos(5,5\pi); \sin(5,5\pi)) = (\cos(\frac{3\pi}{2}); \sin(\frac{3\pi}{2})) = (0; -1)$.
Ответ: Точка, полученная поворотом, имеет координаты (0; -1) и находится на отрицательной полуоси Oy.

3) -6π;
Угол поворота равен $-6\pi$. Знак "минус" означает поворот по часовой стрелке. Угол можно представить как $-6\pi = -3 \cdot 2\pi$. Это соответствует трем полным оборотам по часовой стрелке. Каждый полный оборот возвращает точку в исходное положение. Следовательно, итоговая точка совпадает с начальной точкой P(1; 0). Координаты этой точки: $(\cos(-6\pi); \sin(-6\pi)) = (\cos(0); \sin(0)) = (1; 0)$.
Ответ: Точка, полученная поворотом, совпадает с начальной точкой P(1; 0).

4) -7π;
Угол поворота равен $-7\pi$. Поворот происходит по часовой стрелке. Представим угол как $-7\pi = -6\pi - \pi = -3 \cdot 2\pi - \pi$. Это означает три полных оборота по часовой стрелке, которые возвращают точку в положение P(1; 0), и затем дополнительный поворот на угол $\pi$ (180°) по часовой стрелке. Поворот на угол $-\pi$ из точки (1; 0) перемещает ее в диаметрально противоположную точку на окружности. Координаты этой точки: $(\cos(-7\pi); \sin(-7\pi)) = (\cos(-\pi); \sin(-\pi)) = (-1; 0)$.
Ответ: Точка, полученная поворотом, имеет координаты (-1; 0) и находится на отрицательной полуоси Ox.