Номер 432, страница 130 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

§ 23. Определение синуса, косинуса и тангенса угла. Глава 5. Тригонометрические формулы - номер 432, страница 130.

Вычислить (432—433).

432 1) $sin 3\pi - \cos \frac{3\pi}{2}$;

2) $\cos 0 - \cos 3\pi + \cos 3,5\pi$;

3) $\sin \pi k + \cos 2\pi k, k \in Z$;

4) $\cos \frac{(2k + 1)\pi}{2} - \sin \frac{(4k + 1)\pi}{2}, k \in Z$.

1) $\sin 3\pi - \cos \frac{3\pi}{2}$
Для вычисления значения данного выражения найдем значения каждого из тригонометрических выражений.
Функция синус имеет период $2\pi$. Это означает, что $\sin(x + 2\pi n) = \sin x$ для любого целого $n$.
$\sin 3\pi = \sin(\pi + 2\pi) = \sin \pi$.
Значение синуса от $\pi$ равно $0$.
Значение косинуса в точке $\frac{3\pi}{2}$ также равно $0$.
Таким образом, получаем: $\sin 3\pi - \cos \frac{3\pi}{2} = 0 - 0 = 0$.
Ответ: $0$

2) $\cos 0 - \cos 3\pi + \cos 3,5\pi$
Вычислим значение каждого слагаемого по отдельности.
$\cos 0 = 1$.
Функция косинус имеет период $2\pi$.
$\cos 3\pi = \cos(\pi + 2\pi) = \cos \pi = -1$.
$3,5\pi$ можно представить как $\frac{7\pi}{2}$.
$\cos 3,5\pi = \cos \frac{7\pi}{2} = \cos(\frac{3\pi}{2} + \frac{4\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2} + 2\pi) = \cos \frac{3\pi}{2} = 0$.
Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:
$1 - (-1) + 0 = 1 + 1 + 0 = 2$.
Ответ: $2$

3) $\sin \pi k + \cos 2\pi k, k \in Z$
Данное выражение необходимо вычислить для любого целого числа $k$.
Для любого целого $k$ (положительного, отрицательного или нуля), значение $\sin \pi k$ всегда равно $0$. Это связано с тем, что углы $\pi k$ на единичной окружности соответствуют точкам $(1, 0)$ (при четных $k$) и $(-1, 0)$ (при нечетных $k$), ордината которых равна $0$.
Выражение $\cos 2\pi k$ для любого целого $k$ всегда равно $1$, так как угол $2\pi k$ соответствует полному числу оборотов на единичной окружности, всегда приводя в точку $(1, 0)$, абсцисса которой равна $1$.
Следовательно, сумма равна: $0 + 1 = 1$.
Ответ: $1$

4) $\cos \frac{(2k + 1)\pi}{2} - \sin \frac{(4k + 1)\pi}{2}, k \in Z$
Рассмотрим каждое слагаемое отдельно для любого целого $k$.
Преобразуем аргумент первого слагаемого: $\frac{(2k + 1)\pi}{2} = \frac{2k\pi + \pi}{2} = k\pi + \frac{\pi}{2}$.
Тогда $\cos(k\pi + \frac{\pi}{2})$. Используя формулы приведения, получаем $-\sin(k\pi)$. Как было показано в предыдущем пункте, $\sin(k\pi) = 0$ для любого целого $k$. Значит, $\cos \frac{(2k + 1)\pi}{2} = 0$.
Преобразуем аргумент второго слагаемого: $\frac{(4k + 1)\pi}{2} = \frac{4k\pi + \pi}{2} = 2k\pi + \frac{\pi}{2}$.
Тогда $\sin(2k\pi + \frac{\pi}{2})$. В силу периодичности функции синус (период $2\pi$), это выражение равно $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
Подставляем вычисленные значения в исходное выражение: $0 - 1 = -1$.
Ответ: $-1$