Номер 429, страница 130 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 23. Определение синуса, косинуса и тангенса угла - номер 429, страница 130.

Условие.

429 Отметить на единичной окружности точки, соответствующие числу α, если:
1) $ \sin \alpha = 1 $;
2) $ \sin \alpha = 0 $;
3) $ \cos \alpha = -1 $;
4) $ \cos \alpha = 0 $;
5) $ \sin \alpha = -0.6 $;
6) $ \sin \alpha = 0.5 $;
7) $ \cos \alpha = \frac{1}{3} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\sin \alpha = 1$
На единичной окружности синус угла $\alpha$ соответствует ординате (координате $y$) точки. Условие $\sin \alpha = 1$ означает, что мы ищем точку с ординатой $y=1$. На единичной окружности, центр которой находится в начале координат и радиус равен 1, такая точка только одна. Это самая верхняя точка окружности, лежащая на оси OY.
Ответ: Точка с координатами (0, 1), соответствующая углу $\alpha = \frac{\pi}{2}$.

2) $\sin \alpha = 0$
Условие $\sin \alpha = 0$ означает, что ордината точки на единичной окружности равна 0. Точки с ординатой $y=0$ лежат на оси абсцисс (оси OX). Единичная окружность пересекается с осью OX в двух точках.
Ответ: Две точки: точка с координатами (1, 0), соответствующая углу $\alpha=0$, и точка с координатами (-1, 0), соответствующая углу $\alpha=\pi$.

3) $\cos \alpha = -1$
На единичной окружности косинус угла $\alpha$ соответствует абсциссе (координате $x$) точки. Условие $\cos \alpha = -1$ означает, что мы ищем точку с абсциссой $x=-1$. На единичной окружности такая точка только одна. Это самая левая точка окружности, лежащая на оси OX.
Ответ: Точка с координатами (-1, 0), соответствующая углу $\alpha = \pi$.

4) $\cos \alpha = 0$
Условие $\cos \alpha = 0$ означает, что абсцисса точки на единичной окружности равна 0. Точки с абсциссой $x=0$ лежат на оси ординат (оси OY). Единичная окружность пересекается с осью OY в двух точках.
Ответ: Две точки: точка с координатами (0, 1), соответствующая углу $\alpha=\frac{\pi}{2}$, и точка с координатами (0, -1), соответствующая углу $\alpha=\frac{3\pi}{2}$.

5) $\sin \alpha = -0,6$
Для нахождения точек, соответствующих условию $\sin \alpha = -0,6$, необходимо на оси ординат (OY) отметить значение -0,6. Через эту точку провести горизонтальную прямую $y = -0,6$. Точки пересечения этой прямой с единичной окружностью и будут искомыми точками. Так как значение синуса отрицательно, обе точки будут расположены ниже оси абсцисс, в III и IV координатных четвертях.
Ответ: Две точки, симметричные относительно оси OY, лежащие на пересечении единичной окружности и горизонтальной прямой $y=-0,6$. Одна точка находится в III четверти, другая — в IV.

6) $\sin \alpha = 0,5$
Для нахождения точек, соответствующих условию $\sin \alpha = 0,5$ (или $\sin \alpha = \frac{1}{2}$), необходимо на оси ординат (OY) отметить значение 0,5. Через эту точку провести горизонтальную прямую $y = 0,5$. Точки пересечения этой прямой с единичной окружностью и будут искомыми. Так как значение синуса положительно, обе точки будут расположены выше оси абсцисс, в I и II координатных четвертях. Эти точки соответствуют известным углам.
Ответ: Две точки: одна в I четверти, соответствующая углу $\alpha = \frac{\pi}{6}$, и вторая во II четверти, соответствующая углу $\alpha = \frac{5\pi}{6}$.

7) $\cos \alpha = \frac{1}{3}$
Для нахождения точек, соответствующих условию $\cos \alpha = \frac{1}{3}$, необходимо на оси абсцисс (OX) отметить значение $\frac{1}{3}$ (приблизительно 0,33). Через эту точку провести вертикальную прямую $x = \frac{1}{3}$. Точки пересечения этой прямой с единичной окружностью и будут искомыми точками. Так как значение косинуса положительно, обе точки будут расположены справа от оси ординат, в I и IV координатных четвертях.
Ответ: Две точки, симметричные относительно оси OX, лежащие на пересечении единичной окружности и вертикальной прямой $x = \frac{1}{3}$. Одна точка находится в I четверти, другая — в IV.