Номер 435, страница 131 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 23. Определение синуса, косинуса и тангенса угла - номер 435, страница 131.

Условие.

435 Решить уравнение:

1) $2 \sin x = 0;$

2) $\frac{1}{2} \cos x = 0;$

3) $\cos x - 1 = 0;$

4) $1 - \sin x = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $2 \sin x = 0$

Для решения данного уравнения разделим обе его части на 2:

$\sin x = \frac{0}{2}$

$\sin x = 0$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решениями являются значения $x$, при которых синус обращается в ноль. Это происходит в точках, соответствующих углам $0, \pi, 2\pi, ...$ и так далее, то есть в точках, кратных $\pi$.

Общая формула для корней этого уравнения:

$x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n - любое целое число).

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\frac{1}{2} \cos x = 0$

Чтобы решить это уравнение, умножим обе его части на 2:

$\cos x = 0 \cdot 2$

$\cos x = 0$

Это также частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Косинус равен нулю в точках $\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, ...$ и так далее. Эти точки можно описать одной формулой.

Общая формула для корней этого уравнения:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) $\cos x - 1 = 0$

Перенесем -1 в правую часть уравнения, изменив знак:

$\cos x = 1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Косинус равен единице, когда угол равен $0, 2\pi, 4\pi, ...$ и так далее, то есть в точках, кратных $2\pi$.

Общая формула для корней этого уравнения:

$x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) $1 - \sin x = 0$

Перенесем $-\sin x$ в правую часть уравнения, изменив знак:

$1 = \sin x$

Или, что то же самое:

$\sin x = 1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Синус равен единице, когда угол равен $\frac{\pi}{2}$ и повторяется с периодом $2\pi$. То есть в точках $\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} + 2\pi, \frac{\pi}{2} + 4\pi, ...$

Общая формула для корней этого уравнения:

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.