Номер 446, страница 134 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 24. Знаки синуса, косинуса и тангенса - номер 446, страница 134.

Условие.

446 Определить знак числа tg $\alpha$, если:

1) $\alpha = \frac{5}{6}\pi$;

2) $\alpha = \frac{12}{5}\pi$;

3) $\alpha = -\frac{5}{4}\pi$;

4) $\alpha = 3,7$;

5) $\alpha = -1,3$;

6) $\alpha = 283^\circ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы определить знак $ \tg \alpha $, необходимо установить, в какой координатной четверти находится угол $ \alpha $. Знак тангенса по четвертям следующий:
I четверть ($ 0 \lt \alpha \lt \frac{\pi}{2} $ или $ 0^\circ \lt \alpha \lt 90^\circ $): $ \tg \alpha \gt 0 $ (знак плюс).
II четверть ($ \frac{\pi}{2} \lt \alpha \lt \pi $ или $ 90^\circ \lt \alpha \lt 180^\circ $): $ \tg \alpha \lt 0 $ (знак минус).
III четверть ($ \pi \lt \alpha \lt \frac{3\pi}{2} $ или $ 180^\circ \lt \alpha \lt 270^\circ $): $ \tg \alpha \gt 0 $ (знак плюс).
IV четверть ($ \frac{3\pi}{2} \lt \alpha \lt 2\pi $ или $ 270^\circ \lt \alpha \lt 360^\circ $): $ \tg \alpha \lt 0 $ (знак минус).

1) $ \alpha = \frac{5}{6}\pi; $

Сравним угол $ \alpha $ с границами II четверти, которые равны $ \frac{\pi}{2} $ и $ \pi $. Приведем дроби к общему знаменателю 6: $ \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{6} $ и $ \pi = \frac{6\pi}{6} $. Поскольку выполняется неравенство $ \frac{3\pi}{6} < \frac{5\pi}{6} < \frac{6\pi}{6} $, угол $ \alpha $ расположен во II четверти. Тангенс во II четверти отрицателен.
Ответ: знак минус.

2) $ \alpha = \frac{12}{5}\pi; $

Угол $ \alpha $ больше полного оборота $ 2\pi $. Найдем соответствующий ему угол в пределах от 0 до $ 2\pi $, вычтя полный оборот: $ \frac{12}{5}\pi = \frac{10}{5}\pi + \frac{2}{5}\pi = 2\pi + \frac{2}{5}\pi $. Таким образом, угол $ \alpha $ соответствует углу $ \frac{2}{5}\pi $. Сравним этот угол с границей I четверти $ \frac{\pi}{2} = \frac{2,5\pi}{5} $. Так как $ 0 < \frac{2\pi}{5} < \frac{2,5\pi}{5} $, угол $ \alpha $ находится в I четверти. Тангенс в I четверти положителен.
Ответ: знак плюс.

3) $ \alpha = -\frac{5}{4}\pi; $

Для отрицательного угла найдем соответствующий ему положительный угол, прибавив $ 2\pi $: $ -\frac{5}{4}\pi + 2\pi = -\frac{5\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} $. Сравним $ \frac{3\pi}{4} $ с границами II четверти $ \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{4} $ и $ \pi = \frac{4\pi}{4} $. Так как $ \frac{2\pi}{4} < \frac{3\pi}{4} < \frac{4\pi}{4} $, угол $ \alpha $ находится во II четверти. Тангенс во II четверти отрицателен.
Ответ: знак минус.

4) α = 3,7;

Угол задан в радианах. Используем приближенное значение $ \pi \approx 3,14 $. Оценим границы четвертей: $ \frac{\pi}{2} \approx 1,57 $; $ \pi \approx 3,14 $; $ \frac{3\pi}{2} \approx 4,71 $. Поскольку $ 3,14 < 3,7 < 4,71 $, что соответствует неравенству $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $, угол $ \alpha $ находится в III четверти. Тангенс в III четверти положителен.
Ответ: знак плюс.

5) α = -1,3;

Угол задан в радианах и является отрицательным. Отрицательные углы отсчитываются от 0 по часовой стрелке. Сравним $ \alpha = -1,3 $ с границей IV четверти $ -\frac{\pi}{2} \approx -1,57 $. Так как $ -\frac{\pi}{2} < -1,3 < 0 $, угол $ \alpha $ находится в IV четверти. Тангенс в IV четверти отрицателен.
Ответ: знак минус.

6) α = 283°;

Угол задан в градусах. Границы IV четверти в градусах: от $ 270^\circ $ до $ 360^\circ $. Так как $ 270^\circ < 283^\circ < 360^\circ $, угол $ \alpha $ находится в IV четверти. Тангенс в IV четверти отрицателен.
Ответ: знак минус.