Номер 402, страница 116 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Упражнения к главе 4 - номер 402, страница 116.

Условие.

402 1) $3 + 2 \log_{x+1} 3 = 2 \log_3 (x + 1);$

2) $1 + 2 \log_{x+2} 5 = \log_5 (x + 2).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Решим уравнение $3 + 2 \log_{x+1} 3 = 2 \log_3 (x+1)$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице, а аргумент логарифма должен быть больше нуля.
$\begin{cases} x+1 > 0 \\ x+1 \neq 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -1 \\ x \neq 0 \end{cases}$
Итак, ОДЗ: $x \in (-1, 0) \cup (0, \infty)$.
Воспользуемся свойством логарифма $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$. Тогда $\log_{x+1} 3 = \frac{1}{\log_3 (x+1)}$.
Введем замену. Пусть $y = \log_3 (x+1)$. Тогда уравнение примет вид:
$3 + \frac{2}{y} = 2y$
Умножим обе части уравнения на $y$, при условии что $y \neq 0$. Если $y = \log_3(x+1) = 0$, то $x+1=1$, откуда $x=0$, что не входит в ОДЗ.
$3y + 2 = 2y^2$
$2y^2 - 3y - 2 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$
Теперь вернемся к замене:
1. Если $y = 2$, то $\log_3(x+1) = 2$. По определению логарифма: $x+1 = 3^2$, то есть $x+1 = 9$, откуда $x = 8$.
2. Если $y = -\frac{1}{2}$, то $\log_3(x+1) = -\frac{1}{2}$. По определению логарифма: $x+1 = 3^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$, откуда $x = \frac{\sqrt{3}}{3} - 1$.
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ.
Корень $x=8$ удовлетворяет условиям $x > -1$ и $x \neq 0$.
Корень $x = \frac{\sqrt{3}}{3} - 1 \approx \frac{1.732}{3} - 1 \approx 0.577 - 1 = -0.423$. Этот корень также удовлетворяет условиям $x > -1$ и $x \neq 0$.
Следовательно, оба корня являются решениями уравнения.
Ответ: $8; \frac{\sqrt{3}}{3} - 1$.

2) Решим уравнение $1 + 2 \log_{x+2} 5 = \log_5 (x+2)$.
Определим область допустимых значений (ОДЗ):
$\begin{cases} x+2 > 0 \\ x+2 \neq 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -2 \\ x \neq -1 \end{cases}$
Итак, ОДЗ: $x \in (-2, -1) \cup (-1, \infty)$.
Используем свойство $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$, получим $\log_{x+2} 5 = \frac{1}{\log_5 (x+2)}$.
Сделаем замену. Пусть $y = \log_5 (x+2)$. Уравнение примет вид:
$1 + \frac{2}{y} = y$
Умножим обе части на $y$, при условии что $y \neq 0$. Если $y = \log_5(x+2) = 0$, то $x+2=1$, откуда $x=-1$, что не входит в ОДЗ.
$y + 2 = y^2$
$y^2 - y - 2 = 0$
Это квадратное уравнение. Его можно решить по теореме Виета или через дискриминант.
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 = 3^2$
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 3}{2} = 2$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 3}{2} = -1$
Вернемся к замене:
1. Если $y = 2$, то $\log_5(x+2) = 2$. Отсюда $x+2 = 5^2 = 25$, следовательно $x = 23$.
2. Если $y = -1$, то $\log_5(x+2) = -1$. Отсюда $x+2 = 5^{-1} = \frac{1}{5}$, следовательно $x = \frac{1}{5} - 2 = -\frac{9}{5}$.
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ.
Корень $x=23$ удовлетворяет условиям $x > -2$ и $x \neq -1$.
Корень $x = -\frac{9}{5} = -1.8$. Этот корень также удовлетворяет условиям $x > -2$ и $x \neq -1$.
Оба корня являются решениями.
Ответ: $23; -\frac{9}{5}$.