Номер 398, страница 116 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения к главе 4. Глава 4. Логарифмическая функция - номер 398, страница 116.

398 Доказать, что если последовательность положительных чисел является геометрической прогрессией, то их логарифмы по одному и тому же основанию образуют арифметическую прогрессию.

Пусть дана последовательность положительных чисел $b_1, b_2, b_3, \ldots, b_n, \ldots$, которая является геометрической прогрессией.

По определению геометрической прогрессии, существует такое число $q$ (знаменатель прогрессии), что для любого натурального $n$ выполняется равенство: $b_{n+1} = b_n \cdot q$.

Поскольку по условию все члены последовательности $b_n$ положительны ($b_n > 0$), то ее первый член $b_1 > 0$ и знаменатель $q > 0$.

Рассмотрим новую последовательность $c_1, c_2, c_3, \ldots, c_n, \ldots$, члены которой являются логарифмами членов последовательности $b_n$ по некоторому основанию $a$ (где $a > 0$ и $a \neq 1$): $c_n = \log_a(b_n)$.

Для того чтобы доказать, что последовательность $c_n$ является арифметической прогрессией, необходимо показать, что разность между любым ее последующим и предыдущим членом постоянна. Найдем эту разность $c_{n+1} - c_n$.

$c_{n+1} - c_n = \log_a(b_{n+1}) - \log_a(b_n)$.

Используя свойство логарифмов (логарифм частного), преобразуем выражение: $\log_a(x) - \log_a(y) = \log_a\left(\frac{x}{y}\right)$.

$c_{n+1} - c_n = \log_a\left(\frac{b_{n+1}}{b_n}\right)$.

Так как $b_n$ — это геометрическая прогрессия, то отношение ее $(n+1)$-го члена к $n$-му члену равно знаменателю прогрессии $q$: $\frac{b_{n+1}}{b_n} = q$.

Подставив это в наше выражение для разности, получим: $c_{n+1} - c_n = \log_a(q)$.

Знаменатель $q$ исходной геометрической прогрессии и основание логарифма $a$ являются постоянными величинами. Следовательно, величина $\log_a(q)$ также является константой для всех $n$.

Мы показали, что разность между любым членом последовательности $c_n$ (начиная со второго) и предыдущим членом является постоянной величиной, равной $d = \log_a(q)$. По определению, это означает, что последовательность $c_n$ является арифметической прогрессией. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Последовательность логарифмов по одному и тому же основанию от членов положительной геометрической прогрессии образует арифметическую прогрессию, разность которой равна логарифму знаменателя исходной геометрической прогрессии.