Номер 391, страница 115 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Упражнения к главе 4 - номер 391, страница 115.

Условие.

391 1) $\log_3 x + \log_9 x + \log_{27} x = \frac{11}{12}$;

2) $\log_3 x + \log_{\sqrt{3}} x + \log_{\frac{1}{3}} x = 6$;

3) $\log_3 x \cdot \log_2 x = 4 \log_3 2$;

4) $\log_5 x \cdot \log_3 x = 9 \log_5 3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\log_3 x + \log_9 x + \log_{27} x = \frac{11}{12}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.

Приведем все логарифмы к основанию 3, используя формулу перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ или свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$.

$\log_9 x = \log_{3^2} x = \frac{1}{2}\log_3 x$

$\log_{27} x = \log_{3^3} x = \frac{1}{3}\log_3 x$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$\log_3 x + \frac{1}{2}\log_3 x + \frac{1}{3}\log_3 x = \frac{11}{12}$

Вынесем $\log_3 x$ за скобки:

$\log_3 x \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) = \frac{11}{12}$

$\log_3 x \left(\frac{6+3+2}{6}\right) = \frac{11}{12}$

$\log_3 x \cdot \frac{11}{6} = \frac{11}{12}$

Разделим обе части уравнения на 11 и умножим на 6:

$\log_3 x = \frac{11}{12} \cdot \frac{6}{11}$

$\log_3 x = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

По определению логарифма:

$x = 3^{1/2} = \sqrt{3}$

Значение $x = \sqrt{3}$ удовлетворяет ОДЗ ($x>0$).

Ответ: $x = \sqrt{3}$.

2) $\log_3 x + \log_{\sqrt{3}} x + \log_{\frac{1}{3}} x = 6$

ОДЗ: $x > 0$.

Приведем все логарифмы к основанию 3:

$\log_{\sqrt{3}} x = \log_{3^{1/2}} x = \frac{1}{1/2}\log_3 x = 2\log_3 x$

$\log_{\frac{1}{3}} x = \log_{3^{-1}} x = \frac{1}{-1}\log_3 x = -\log_3 x$

Подставим преобразованные логарифмы в уравнение:

$\log_3 x + 2\log_3 x - \log_3 x = 6$

$2\log_3 x = 6$

$\log_3 x = 3$

По определению логарифма:

$x = 3^3 = 27$

Значение $x = 27$ удовлетворяет ОДЗ ($x>0$).

Ответ: $x = 27$.

3) $\log_3 x \cdot \log_2 x = 4 \log_3 2$

ОДЗ: $x > 0$. Также заметим, что $x \neq 1$, иначе левая часть уравнения будет равна 0, а правая часть $4 \log_3 2 \neq 0$.

Используем формулу перехода к новому основанию, приведем $\log_2 x$ к основанию 3:

$\log_2 x = \frac{\log_3 x}{\log_3 2}$

Подставим в уравнение:

$\log_3 x \cdot \frac{\log_3 x}{\log_3 2} = 4 \log_3 2$

$(\log_3 x)^2 = 4 (\log_3 2)^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$\log_3 x = \pm \sqrt{4 (\log_3 2)^2}$

$\log_3 x = \pm 2 \log_3 2$

Рассмотрим два случая:

1. $\log_3 x = 2 \log_3 2$. Используя свойство степени логарифма $k \log_a b = \log_a b^k$, получаем: $\log_3 x = \log_3 (2^2) = \log_3 4$. Отсюда $x_1 = 4$.

2. $\log_3 x = -2 \log_3 2$. Аналогично: $\log_3 x = \log_3 (2^{-2}) = \log_3 \left(\frac{1}{4}\right)$. Отсюда $x_2 = \frac{1}{4}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x>0, x \neq 1$).

Ответ: $x_1 = 4, x_2 = \frac{1}{4}$.

4) $\log_5 x \cdot \log_3 x = 9 \log_5 3$

ОДЗ: $x > 0, x \neq 1$.

Приведем $\log_3 x$ к основанию 5:

$\log_3 x = \frac{\log_5 x}{\log_5 3}$

Подставим в уравнение:

$\log_5 x \cdot \frac{\log_5 x}{\log_5 3} = 9 \log_5 3$

$(\log_5 x)^2 = 9 (\log_5 3)^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$\log_5 x = \pm \sqrt{9 (\log_5 3)^2}$

$\log_5 x = \pm 3 \log_5 3$

Рассмотрим два случая:

1. $\log_5 x = 3 \log_5 3 = \log_5 (3^3) = \log_5 27$. Отсюда $x_1 = 27$.

2. $\log_5 x = -3 \log_5 3 = \log_5 (3^{-3}) = \log_5 \left(\frac{1}{27}\right)$. Отсюда $x_2 = \frac{1}{27}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x>0, x \neq 1$).

Ответ: $x_1 = 27, x_2 = \frac{1}{27}$.