Номер 386, страница 115 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Упражнения к главе 4 - номер 386, страница 115.

Условие.

386 Вычислить $\log_{30} 64$ с точностью до 0,001, зная, что $\lg 3 \approx 0,4771$, $\lg 5 \approx 0,6990$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для вычисления значения $ \log_{30} 64 $ воспользуемся формулой перехода к новому основанию. Перейдем к десятичному логарифму ($ \lg $, логарифм по основанию 10).

Формула перехода к новому основанию выглядит так: $ \log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b} $.

Применим эту формулу к нашему выражению, выбрав в качестве нового основания $ c=10 $:

$ \log_{30} 64 = \frac{\lg 64}{\lg 30} $

Теперь вычислим значения числителя и знаменателя, используя данные в условии задачи: $ \lg 3 \approx 0,4771 $ и $ \lg 5 \approx 0,6990 $.

1. Вычисление числителя $ \lg 64 $:

Представим 64 как степень числа 2: $ 64 = 2^6 $.

Используя свойство логарифма степени $ \log_a(b^c) = c \cdot \log_a b $, получаем:

$ \lg 64 = \lg(2^6) = 6 \cdot \lg 2 $

Значение $ \lg 2 $ не дано в условии, но его можно найти, используя свойство $ \lg 10 = 1 $ и $ 10 = 2 \cdot 5 $:

$ \lg 10 = \lg(2 \cdot 5) = \lg 2 + \lg 5 $

$ 1 = \lg 2 + \lg 5 $

Отсюда выразим $ \lg 2 $:

$ \lg 2 = 1 - \lg 5 \approx 1 - 0,6990 = 0,3010 $

Теперь можем вычислить $ \lg 64 $:

$ \lg 64 = 6 \cdot \lg 2 \approx 6 \cdot 0,3010 = 1,8060 $

2. Вычисление знаменателя $ \lg 30 $:

Представим 30 как произведение $ 3 \cdot 10 $.

Используя свойство логарифма произведения $ \log_a(b \cdot c) = \log_a b + \log_a c $, получаем:

$ \lg 30 = \lg(3 \cdot 10) = \lg 3 + \lg 10 $

Так как $ \lg 10 = 1 $ и по условию $ \lg 3 \approx 0,4771 $, то:

$ \lg 30 \approx 0,4771 + 1 = 1,4771 $

3. Итоговое вычисление:

Подставим найденные значения в исходную формулу:

$ \log_{30} 64 = \frac{\lg 64}{\lg 30} \approx \frac{1,8060}{1,4771} $

Выполним деление:

$ \frac{1,8060}{1,4771} \approx 1,222665... $

Согласно условию, результат необходимо округлить с точностью до 0,001, то есть до тысячных (трех знаков после запятой). Четвертая цифра после запятой - 6, поэтому округляем в большую сторону.

$ 1,222665... \approx 1,223 $

Ответ: $1,223$