Номер 388, страница 115 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Упражнения к главе 4 - номер 388, страница 115.

Условие.

388 При каких значениях $x$ справедливо неравенство:

1) $\log_x 8 < \log_x 10$;

2) $\log_x \frac{3}{4} < \log_x \frac{1}{2}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\log_x 8 < \log_x 10$

Решение логарифмического неравенства зависит от основания логарифма $x$ .

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице: $x > 0$ и $x \neq 1$ . Аргументы логарифмов (8 и 10) положительны, поэтому других ограничений нет. ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$ .

Рассмотрим два случая:

Случай 1: Основание больше 1 ( $x > 1$ ).
В этом случае логарифмическая функция $y = \log_x a$ является возрастающей. Это значит, что если $\log_x a < \log_x b$ , то $a < b$ .
Поэтому неравенство $\log_x 8 < \log_x 10$ равносильно неравенству $8 < 10$ .
Так как $8 < 10$ — верное числовое неравенство, то все значения $x$ из рассматриваемого промежутка $x > 1$ являются решениями.

Случай 2: Основание находится в интервале от 0 до 1 ( $0 < x < 1$ ).
В этом случае логарифмическая функция $y = \log_x a$ является убывающей. Это значит, что если $\log_x a < \log_x b$ , то $a > b$ .
Поэтому неравенство $\log_x 8 < \log_x 10$ равносильно неравенству $8 > 10$ .
Так как $8 > 10$ — неверное числовое неравенство, в этом случае решений нет.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем, что решением исходного неравенства является промежуток $x > 1$ .

Ответ: $x \in (1; +\infty)$ .

2) $\log_x \frac{3}{4} < \log_x \frac{1}{2}$

ОДЗ для этого неравенства такое же, как и в предыдущем пункте: $x > 0$ и $x \neq 1$ , то есть $x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$ .

Снова рассмотрим два случая в зависимости от основания $x$ .

Случай 1: Основание больше 1 ( $x > 1$ ).
Логарифмическая функция возрастает, поэтому знак неравенства для аргументов сохраняется:
$\frac{3}{4} < \frac{1}{2}$ .
Приводя дроби к общему знаменателю, получаем $\frac{3}{4} < \frac{2}{4}$ , что является неверным. Следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2: Основание находится в интервале от 0 до 1 ( $0 < x < 1$ ).
Логарифмическая функция убывает, поэтому знак неравенства для аргументов меняется на противоположный:
$\frac{3}{4} > \frac{1}{2}$ .
Это неравенство, $\frac{3}{4} > \frac{2}{4}$ , является верным. Значит, все значения $x$ из рассматриваемого промежутка $0 < x < 1$ являются решениями.

Объединяя результаты, получаем, что решением неравенства является интервал $0 < x < 1$ .

Ответ: $x \in (0; 1)$ .