Номер 6, страница 114 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Проверь себя к главе 4 - номер 6, страница 114.

Условие.

6 Решить неравенство:

1) $log_3 (x - 1) \le 2;$

2) $log_{\frac{1}{5}} (2 - x) > -1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 8.

1) $\log_3(x-1) \le 2$

Для решения логарифмического неравенства необходимо сначала найти область допустимых значений (ОДЗ), а затем решить само неравенство.

Шаг 1: Найдём ОДЗ.
Выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть строго больше нуля: $x - 1 > 0$
$x > 1$

Шаг 2: Решим неравенство.
Представим правую часть неравенства в виде логарифма по основанию 3. Используем свойство $a = \log_b(b^a)$:
$2 = \log_3(3^2) = \log_3(9)$
Подставим это в исходное неравенство:
$\log_3(x-1) \le \log_3(9)$
Так как основание логарифма $3 > 1$, то логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:
$x - 1 \le 9$
$x \le 10$

Шаг 3: Объединим результаты.
Теперь необходимо найти пересечение решения неравенства с областью допустимых значений. Составим систему:
$\begin{cases} x > 1 \\ x \le 10 \end{cases}$
Решением этой системы является промежуток $(1, 10]$.

Ответ: $(1, 10]$

2) $\log_{\frac{1}{5}}(2-x) > -1$

Решение этого неравенства также начнём с определения области допустимых значений.

Шаг 1: Найдём ОДЗ.
Аргумент логарифма должен быть положительным:
$2 - x > 0$
$-x > -2$
При умножении на -1 знак неравенства меняется:
$x < 2$

Шаг 2: Решим неравенство.
Представим правую часть в виде логарифма по основанию $\frac{1}{5}$:
$-1 = \log_{\frac{1}{5}}((\frac{1}{5})^{-1}) = \log_{\frac{1}{5}}(5)$
Подставим в неравенство:
$\log_{\frac{1}{5}}(2-x) > \log_{\frac{1}{5}}(5)$
Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{5} < 1$, то логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства необходимо изменить на противоположный:
$2 - x < 5$
$-x < 3$
$x > -3$

Шаг 3: Объединим результаты.
Составим систему из ОДЗ и решения неравенства:
$\begin{cases} x < 2 \\ x > -3 \end{cases}$
Решением системы является интервал $(-3, 2)$.

Ответ: $(-3, 2)$