Номер 4, страница 114 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Проверь себя к главе 4 - номер 4, страница 114.

Условие.

4 Решить уравнение:

1) $\log_5 (3x + 1) = 2$;

2) $\log_3 (x + 2) + \log_3 x = 1$;

3) $\ln (x^2 - 6x + 9) = \ln 3 + \ln (x + 3)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 8.

1) Дано уравнение $\log_{5}(3x+1)=2$.
Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:
$3x+1>0$
$3x>-1$
$x>-\frac{1}{3}$
Теперь решим уравнение, используя определение логарифма: $\log_{a}b=c \Leftrightarrow a^c=b$.
$3x+1 = 5^2$
$3x+1 = 25$
$3x = 25 - 1$
$3x = 24$
$x = \frac{24}{3}$
$x=8$
Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ. $8 > -\frac{1}{3}$, следовательно, корень подходит.
Ответ: $x=8$.

2) Дано уравнение $\log_{3}(x+2)+\log_{3}x=1$.
Найдем ОДЗ. Аргументы обоих логарифмов должны быть положительны:
$\begin{cases} x+2>0 \\ x>0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x>-2 \\ x>0 \end{cases} \Rightarrow x>0$.
Используем свойство суммы логарифмов: $\log_{a}b+\log_{a}c=\log_{a}(bc)$.
$\log_{3}((x+2)x)=1$
$\log_{3}(x^2+2x)=1$
По определению логарифма:
$x^2+2x = 3^1$
$x^2+2x-3=0$
Это квадратное уравнение. Решим его по теореме Виета или через дискриминант.
По теореме Виета: $x_1+x_2=-2$, $x_1 \cdot x_2=-3$. Корни: $x_1=1$ и $x_2=-3$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x>0$).
$x_1=1$ удовлетворяет условию $1>0$.
$x_2=-3$ не удовлетворяет условию $-3>0$, поэтому это посторонний корень.
Ответ: $x=1$.