Номер 383, страница 114 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения к главе 4. Глава 4. Логарифмическая функция - номер 383, страница 114.

383 1) $\lg (x^2 + 2x + 2) < 1$;

2) $\log_3 (x^2 + 7x - 5) > 1$.

1) $\lg(x^2 + 2x + 2) < 1$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$x^2 + 2x + 2 > 0$

Это квадратичное неравенство. Найдем дискриминант соответствующего уравнения $x^2 + 2x + 2 = 0$:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), а старший коэффициент положителен ($a = 1 > 0$), квадратный трехчлен $x^2 + 2x + 2$ положителен при любых действительных значениях $x$.

Другой способ — выделить полный квадрат: $x^2 + 2x + 2 = (x^2 + 2x + 1) + 1 = (x+1)^2 + 1$. Так как $(x+1)^2 \ge 0$, то $(x+1)^2 + 1 \ge 1$, что всегда больше нуля.

Следовательно, ОДЗ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Теперь решим само неравенство. Представим 1 в виде десятичного логарифма:

$1 = \lg(10)$

Неравенство принимает вид:

$\lg(x^2 + 2x + 2) < \lg(10)$

Основание логарифма $10 > 1$, поэтому логарифмическая функция возрастающая. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:

$x^2 + 2x + 2 < 10$

$x^2 + 2x - 8 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -4$.

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $x^2 + 2x - 8 < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Решение: $-4 < x < 2$, или в виде интервала $x \in (-4; 2)$.

Это решение полностью входит в ОДЗ.

Ответ: $x \in (-4; 2)$.

2) $\log_3(x^2 + 7x - 5) > 1$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$x^2 + 7x - 5 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 7x - 5 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 49 + 20 = 69$

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{69}}{2}$.

Парабола $y=x^2 + 7x - 5$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство $x^2 + 7x - 5 > 0$ выполняется вне интервала между корнями.

ОДЗ: $x \in (-\infty; \frac{-7 - \sqrt{69}}{2}) \cup (\frac{-7 + \sqrt{69}}{2}; +\infty)$.

Теперь решим основное неравенство. Представим 1 как логарифм по основанию 3:

$1 = \log_3(3)$

Неравенство принимает вид:

$\log_3(x^2 + 7x - 5) > \log_3(3)$

Основание логарифма $3 > 1$, поэтому логарифмическая функция возрастающая, и знак неравенства сохраняется:

$x^2 + 7x - 5 > 3$

$x^2 + 7x - 8 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 7x - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -8$.

Парабола $y=x^2+7x-8$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство $x^2 + 7x - 8 > 0$ выполняется вне интервала между корнями:

$x \in (-\infty; -8) \cup (1; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ. Для этого сравним граничные точки интервалов.

Так как $8 < \sqrt{69} < 9$, то $\frac{-7+8}{2} < \frac{-7+\sqrt{69}}{2} < \frac{-7+9}{2}$, то есть $0.5 < \frac{-7+\sqrt{69}}{2} < 1$.

Аналогично, $-8 < \frac{-7-\sqrt{69}}{2} < -7.5$.

Таким образом, интервал $(-\infty; -8)$ полностью содержится в интервале ОДЗ $(-\infty; \frac{-7 - \sqrt{69}}{2})$, а интервал $(1; +\infty)$ полностью содержится в интервале ОДЗ $(\frac{-7 + \sqrt{69}}{2}; +\infty)$.

Пересечением решения и ОДЗ является само решение.

Ответ: $x \in (-\infty; -8) \cup (1; +\infty)$.