Номер 376, страница 113 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Упражнения к главе 4 - номер 376, страница 113.

Условие.

376 Решить графически уравнение:

1) $\log_3 x = 5 - x$;

2) $\log_{\frac{1}{3}} x = 3x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Чтобы решить графически уравнение $\log_3 x = 5 - x$, построим в одной системе координат графики двух функций: $y = \log_3 x$ и $y = 5 - x$. Абсцисса точки пересечения этих графиков и будет решением уравнения.

1. Построим график функции $y = \log_3 x$. Это логарифмическая функция. Область определения: $x > 0$. Так как основание логарифма $3 > 1$, функция является возрастающей. Составим таблицу значений:

$x$	$1/3$	$1$	$3$	$9$
$y = \log_3 x$	$-1$	$0$	$1$	$2$

2. Построим график функции $y = 5 - x$. Это линейная функция, ее график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек. Составим таблицу значений:

$x$	$0$	$5$	$3$
$y = 5 - x$	$5$	$0$	$2$

3. Построим оба графика на одной координатной плоскости. Функция $y = \log_3 x$ — возрастающая, а функция $y = 5 - x$ — убывающая. Следовательно, графики этих функций могут пересечься не более чем в одной точке. Это означает, что уравнение имеет единственный корень.

При построении графиков видно, что они пересекаются в одной точке. Аналитически подобрать целый корень не удается. Проверим значения функций в целых точках, близких к предполагаемому пересечению:
При $x = 3$: $\log_3 3 = 1$, а $5 - 3 = 2$. Так как $1 < 2$, точка на графике логарифма находится ниже точки на прямой.
При $x = 4$: $\log_3 4 \approx 1.26$, а $5 - 4 = 1$. Так как $1.26 > 1$, точка на графике логарифма находится выше точки на прямой.
Следовательно, корень уравнения находится в интервале $(3, 4)$. Графический метод позволяет найти лишь приблизительное значение корня.

Ответ: Уравнение имеет один корень, который является абсциссой точки пересечения графиков функций $y=\log_3 x$ и $y=5-x$.

---

2)

Чтобы решить графически уравнение $\log_{\frac{1}{3}} x = 3x$, построим в одной системе координат графики двух функций: $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ и $y = 3x$. Абсцисса точки пересечения этих графиков и будет решением уравнения.

1. Построим график функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$. Это логарифмическая функция. Область определения: $x > 0$. Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{3} < 1$, функция является убывающей. Составим таблицу значений:

$x$	$1/9$	$1/3$	$1$	$3$
$y = \log_{\frac{1}{3}} x$	$2$	$1$	$0$	$-1$

2. Построим график функции $y = 3x$. Это линейная функция, ее график — прямая, проходящая через начало координат. Составим таблицу значений:

$x$	$0$	$1/3$	$1$
$y = 3x$	$0$	$1$	$3$

3. Построим оба графика на одной координатной плоскости. Из таблиц видно, что при $x = \frac{1}{3}$ значения обеих функций совпадают и равны $1$. Таким образом, точка $(\frac{1}{3}, 1)$ является точкой пересечения графиков.

Функция $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ является убывающей на всей области определения, а функция $y = 3x$ — возрастающей. Следовательно, их графики могут пересечься только в одной точке. Значит, найденный корень является единственным.

Ответ: $x = \frac{1}{3}$.