Номер 377, страница 113 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Упражнения к главе 4 - номер 377, страница 113.

Условие.

377 Найти область определения функции:

1) $y = \log_7 (5 - 2x);$

2) $y = \log_2 (x^2 - 2x).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $y = \log_7(5 - 2x)$

Область определения логарифмической функции — это множество всех значений аргумента, при которых функция имеет смысл. Для функции логарифма $y = \log_a(b)$ основное требование заключается в том, что аргумент логарифма $b$ должен быть строго положительным ($b > 0$).

В данном случае аргументом является выражение $5 - 2x$. Следовательно, для нахождения области определения нужно решить неравенство:

$5 - 2x > 0$

Перенесем 5 в правую часть неравенства, изменив знак:

$-2x > -5$

Теперь разделим обе части неравенства на -2. Важно помнить, что при умножении или делении неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{-5}{-2}$

$x < 2.5$

Таким образом, область определения функции состоит из всех действительных чисел, которые меньше 2.5. В виде числового промежутка это записывается как $(-\infty; 2.5)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 2.5)$.

2) $y = \log_2(x^2 - 2x)$

Аналогично первому случаю, выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть строго больше нуля:

$x^2 - 2x > 0$

Это квадратное неравенство. Для его решения сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$

$x_2 = 2$

Эти корни разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$. Теперь определим знак выражения $x^2 - 2x$ на каждом из этих интервалов. Поскольку графиком функции $f(x) = x^2 - 2x$ является парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ положителен), значение функции будет положительным вне интервала между корнями и отрицательным внутри этого интервала.

Проверим это, выбрав по одной точке из каждого интервала:

• Для интервала $(-\infty; 0)$, возьмем $x = -1$: $(-1)^2 - 2(-1) = 1 + 2 = 3$. Результат $3 > 0$, значит, интервал подходит.
• Для интервала $(0; 2)$, возьмем $x = 1$: $1^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1$. Результат $-1 < 0$, значит, интервал не подходит.
• Для интервала $(2; +\infty)$, возьмем $x = 3$: $3^2 - 2(3) = 9 - 6 = 3$. Результат $3 > 0$, значит, интервал подходит.

Таким образом, неравенство $x^2 - 2x > 0$ выполняется, когда $x$ принадлежит интервалам $(-\infty; 0)$ или $(2; +\infty)$. Область определения является объединением этих двух интервалов.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$.