Номер 370, страница 113 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Упражнения к главе 4 - номер 370, страница 113.

Условие.

370 1) $\log_{11} 1$;

2) $\log_7 7$;

3) $\log_{16} 64$;

4) $\log_{27} 9$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) По определению логарифма, $log_a b$ – это показатель степени, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить число $b$. В данном случае нам нужно найти такое число $x$, что $11^x = 1$. Любое число (кроме нуля), возведенное в степень 0, равно 1. Таким образом, $11^0 = 1$, а значит $log_{11} 1 = 0$.

Ответ: $0$

2) Нам нужно найти показатель степени $x$, в которую следует возвести основание 7, чтобы получить 7. То есть, мы решаем уравнение $7^x = 7$. Очевидно, что $x=1$, так как любое число в первой степени равно самому себе ($7^1 = 7$). Следовательно, $log_7 7 = 1$.

Ответ: $1$

3) Для вычисления $log_{16} 64$ представим основание 16 и число 64 в виде степеней одного и того же числа. Удобно использовать в качестве общего основания число 4, так как $16 = 4^2$ и $64 = 4^3$.

Подставим эти значения в логарифм: $log_{16} 64 = log_{4^2} 4^3$.

Воспользуемся свойством логарифма $log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} log_a b$:

$log_{4^2} 4^3 = \frac{3}{2} log_4 4$.

Так как $log_4 4 = 1$, получаем: $\frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$

4) Чтобы найти значение $log_{27} 9$, представим основание 27 и число 9 как степени общего основания, которым является число 3. Мы знаем, что $27 = 3^3$ и $9 = 3^2$.

Подставляем эти выражения в исходный логарифм: $log_{27} 9 = log_{3^3} 3^2$.

Применим то же свойство логарифма, что и в предыдущем пункте: $log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} log_a b$:

$log_{3^3} 3^2 = \frac{2}{3} log_3 3$.

Поскольку $log_3 3 = 1$, результат равен: $\frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$