Номер 366, страница 112 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

§ 20. Логарифмические неравенства. Глава 4. Логарифмическая функция - номер 366, страница 112.

366 $\frac{2}{3^x - 1} \le \frac{7}{9^x - 2}$.

Исходное неравенство:$$ \frac{2}{3^x - 1} \le \frac{7}{9^x - 2} $$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны равняться нулю:

1. $3^x - 1 \ne 0 \implies 3^x \ne 1 \implies x \ne 0$.

2. $9^x - 2 \ne 0 \implies (3^2)^x \ne 2 \implies 3^{2x} \ne 2 \implies 2x \ne \log_3 2 \implies x \ne \frac{1}{2}\log_3 2$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция $y=3^x$ принимает только положительные значения, то $t > 0$.Тогда $9^x = (3^x)^2 = t^2$. Неравенство принимает вид:$$ \frac{2}{t - 1} \le \frac{7}{t^2 - 2} $$

Перенесем все члены в одну сторону и приведем к общему знаменателю:$$ \frac{7}{t^2 - 2} - \frac{2}{t - 1} \ge 0 $$$$ \frac{7(t - 1) - 2(t^2 - 2)}{(t^2 - 2)(t - 1)} \ge 0 $$$$ \frac{7t - 7 - 2t^2 + 4}{(t^2 - 2)(t - 1)} \ge 0 $$$$ \frac{-2t^2 + 7t - 3}{(t^2 - 2)(t - 1)} \ge 0 $$

Умножим обе части неравенства на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный:$$ \frac{2t^2 - 7t + 3}{(t^2 - 2)(t - 1)} \le 0 $$

Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов. Для этого найдем корни числителя и знаменателя.

Корни числителя $2t^2 - 7t + 3 = 0$:Используем формулу для корней квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$.$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3$.

Корни знаменателя $(t^2 - 2)(t - 1) = 0$:$t - 1 = 0 \implies t_3 = 1$.$t^2 - 2 = 0 \implies t^2 = 2 \implies t_4 = \sqrt{2}$ (учитывая, что $t>0$).

Отметим на числовой оси точки $t=\frac{1}{2}$, $t=1$, $t=\sqrt{2}$, $t=3$ и определим знаки выражения на получившихся интервалах. Точки, обращающие знаменатель в ноль ($1$ и $\sqrt{2}$), будут выколотыми. Точки, обращающие числитель в ноль ($\frac{1}{2}$ и $3$), будут закрашенными, так как неравенство нестрогое.

Выражение можно представить в виде $\frac{2(t - 1/2)(t - 3)}{(t - 1)(t - \sqrt{2})(t+\sqrt{2})} \le 0$. Так как $t>0$, множитель $(t+\sqrt{2})$ всегда положителен и не влияет на знак дроби.

Проверим знаки на интервалах для $t>0$:
- Интервал $(0, 1/2)$: знак $+$.
- Интервал $[1/2, 1)$: знак $-$.
- Интервал $(1, \sqrt{2})$: знак $+$.
- Интервал $(\sqrt{2}, 3]$: знак $-$.
- Интервал $(3, \infty)$: знак $+$.

Решением неравенства для $t$ является объединение промежутков, где выражение меньше или равно нулю:$$ t \in [\frac{1}{2}, 1) \cup (\sqrt{2}, 3] $$

Выполним обратную замену $t = 3^x$.

1. Для первого промежутка: $ \frac{1}{2} \le t < 1 \implies \frac{1}{2} \le 3^x < 1 $.Так как логарифмическая функция с основанием $3$ является возрастающей, прологарифмируем неравенство по основанию 3:$ \log_3(\frac{1}{2}) \le \log_3(3^x) < \log_3(1) $$ -\log_3 2 \le x < 0 $

2. Для второго промежутка: $ \sqrt{2} < t \le 3 \implies \sqrt{2} < 3^x \le 3 $.Прологарифмируем по основанию 3:$ \log_3(\sqrt{2}) < \log_3(3^x) \le \log_3(3) $$ \log_3(2^{1/2}) < x \le 1 $$ \frac{1}{2}\log_3 2 < x \le 1 $

Объединяя полученные решения, получаем окончательный ответ. Найденные интервалы удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x \in [-\log_3 2, 0) \cup (\frac{1}{2}\log_3 2, 1]$.