Номер 369, страница 113 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Упражнения к главе 4 - номер 369, страница 113.

Условие.

369 1) $\log_{\frac{1}{4}} 64$;

2) $\log_{\frac{1}{3}} 81$;

3) $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{27}$;

4) $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{64}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Чтобы вычислить $ \log_{\frac{1}{4}} 64 $, необходимо найти показатель степени $x$, в которую нужно возвести основание $ \frac{1}{4} $, чтобы получить число 64. Это можно записать в виде уравнения: $ (\frac{1}{4})^x = 64 $.

Для решения уравнения представим обе его части в виде степеней с одинаковым основанием. Удобнее всего использовать основание 4.

Основание логарифма $ \frac{1}{4} $ можно представить как $ 4^{-1} $.

Число под знаком логарифма 64 можно представить как $ 4^3 $, поскольку $ 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64 $.

Теперь уравнение принимает вид: $ (4^{-1})^x = 4^3 $.

По свойству степени $ (a^m)^n = a^{mn} $, левая часть уравнения преобразуется в $ 4^{-x} $.

Получаем равенство: $ 4^{-x} = 4^3 $.

Так как основания степеней равны, то и их показатели должны быть равны: $ -x = 3 $.

Отсюда находим $ x = -3 $.

Ответ: -3

2)

Чтобы вычислить $ \log_{\frac{1}{3}} 81 $, найдем показатель степени $x$, такой что $ (\frac{1}{3})^x = 81 $.

Представим обе части уравнения в виде степеней с основанием 3.

Основание $ \frac{1}{3} = 3^{-1} $.

Число $ 81 = 3^4 $, так как $ 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81 $.

Подставляем эти выражения в исходное уравнение: $ (3^{-1})^x = 3^4 $.

Упрощаем левую часть: $ 3^{-x} = 3^4 $.

Приравнивая показатели степеней, получаем: $ -x = 4 $.

Следовательно, $ x = -4 $.

Ответ: -4

3)

Чтобы вычислить $ \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{27} $, найдем $x$ из уравнения $ (\frac{1}{3})^x = \frac{1}{27} $.

Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $ \frac{1}{3} $.

Так как $ 27 = 3^3 $, то $ \frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = (\frac{1}{3})^3 $.

Теперь уравнение выглядит так: $ (\frac{1}{3})^x = (\frac{1}{3})^3 $.

Поскольку основания степеней одинаковы, их показатели должны быть равны: $ x = 3 $.

Ответ: 3

4)

Чтобы вычислить $ \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{64} $, найдем $x$ из уравнения $ (\frac{1}{2})^x = \frac{1}{64} $.

Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $ \frac{1}{2} $.

Мы знаем, что $ 64 = 2^6 $. Поэтому $ \frac{1}{64} = \frac{1}{2^6} = (\frac{1}{2})^6 $.

Уравнение принимает вид: $ (\frac{1}{2})^x = (\frac{1}{2})^6 $.

Так как основания равны, приравниваем показатели степеней: $ x = 6 $.

Ответ: 6