Номер 371, страница 113 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения к главе 4. Глава 4. Логарифмическая функция - номер 371, страница 113.

371 1) $(0,1)^{-\lg 0,3}$;

2) $10^{-\lg 4}$;

3) $5^{-\log_5 3}$;

4) $\left(\frac{1}{6}\right)^{-\log_6 4}$.

1) Для решения данного выражения воспользуемся основным логарифмическим тождеством $a^{\log_a b} = b$ и свойствами степеней.
Сначала представим основание $0,1$ в виде степени числа $10$, так как в показателе степени стоит десятичный логарифм ($\lg x = \log_{10} x$).
$0,1 = \frac{1}{10} = 10^{-1}$
Подставим это в исходное выражение:
$(0,1)^{-\lg 0,3} = (10^{-1})^{-\lg 0,3}$
При возведении степени в степень их показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{mn}$.
$(10^{-1})^{-\lg 0,3} = 10^{(-1) \cdot (-\lg 0,3)} = 10^{\lg 0,3}$
Теперь применим основное логарифмическое тождество, зная, что $\lg 0,3 = \log_{10} 0,3$:
$10^{\log_{10} 0,3} = 0,3$
Ответ: 0,3

2) Для упрощения этого выражения используем свойство логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.
Запишем показатель степени в другом виде:
$-\lg 4 = -1 \cdot \lg 4 = \lg(4^{-1})$
Теперь подставим это в исходное выражение, помня, что $\lg x = \log_{10} x$:
$10^{-\lg 4} = 10^{\lg(4^{-1})} = 10^{\log_{10}(4^{-1})}$
Применяя основное логарифмическое тождество, получаем:
$10^{\log_{10}(4^{-1})} = 4^{-1}$
Вычислим значение:
$4^{-1} = \frac{1}{4} = 0,25$
Ответ: 0,25

3) Это выражение решается аналогично предыдущему, с использованием свойства $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$ и основного логарифмического тождества $a^{\log_a b} = b$.
Преобразуем показатель степени:
$-\log_5 3 = -1 \cdot \log_5 3 = \log_5 (3^{-1})$
Подставим в исходное выражение:
$5^{-\log_5 3} = 5^{\log_5 (3^{-1})}$
По основному логарифмическому тождеству:
$5^{\log_5 (3^{-1})} = 3^{-1}$
Вычисляем значение:
$3^{-1} = \frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}$

4) Для решения воспользуемся свойством степени $(\frac{1}{a})^n = a^{-n}$ и основным логарифмическим тождеством $a^{\log_a b} = b$.
Представим основание $\frac{1}{6}$ как $6^{-1}$:
$(\frac{1}{6})^{-\log_6 4} = (6^{-1})^{-\log_6 4}$
При возведении степени в степень их показатели перемножаются:
$(6^{-1})^{-\log_6 4} = 6^{(-1) \cdot (-\log_6 4)} = 6^{\log_6 4}$
Теперь применим основное логарифмическое тождество:
$6^{\log_6 4} = 4$
Ответ: 4